降次--解一元二次方程(初中数学九年级)

降次--解一元二次方程(初中数学九年级)学情分析:在学习本节之前，学生对一元一次方程及一元一次方程的解的有关知识有一定的了解，并且九年级的学生有一定的数学思维基础，分析和概括能力相对于八年级学生有很大的提高，容易开发学生的主观能动性，适合有特殊到一般的探究方式教学内容分析:本节课主要学习运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．教学目标:1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能的训练。2、会用公式法解简单系数的一元二次方程。3、会利用b2-4ac来判断一元二次方程根的情况。教学难点分析：重点：运用开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0）的方程．难点：通过根据平方根的意义解形如x2=n的方程，知识迁移到形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．关键：理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．教学课时：1课时教学过程：一、温故知新：1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？（口答）2、用配方法解下列方程：（1）x2-6x+5=0（2）2x2-7x+3=0（学生扳演，教师点评）二、自主学习：〈一〉自学课本Ｐ40---P41思考下列问题：1、结合配方法的几个步骤，看看教材中是怎样推导出求根公式的？2、配方时，方程两边同时加是什么？3、教材中方程②224422aacbabx能不能直接开平方求解吗？为什么？4、什么叫公式法解一元二次方程？求根公式是什么？交流与点拨：公式的推导过程既是重点又是难点，也可以由师生共同完成，在推导时，注意学生对细节的处理，教师要及时点拨；还要强调不要死记公式。关键感受推导过程。在处理问题3时，要结合前边学过的平方的意义，何时才能开方。三、例题学习：例1（教材P41例2）解下列方程：（1）2x2-x-1=0（2）x2+1.5x=-3x（3）x2-x2=-21（4）4x2-3x+2=0解：将方程化成一般形式解：a=4,b=-3，c=2.x2-x2+21=0b2-4ac=（-3）2-4×4×2=9-32=-23＜0a=1,b=-2，c=21因为在实数范围负数不能开平方，所以方b2-4ac=(-2)2-4×1×21=0程无实数根。202120)2(x2221xx（在例题的学习中，教师对典型例题要书写解题过程，作示范作用。并引导学生观察公式法解一元二次方程的步骤，师生合作完成。）及时总结：1、用公式法解一元二次方程的一般步骤：（1）先把方程化成一般形式，确定a、b、c的值。（2）求b2-4ac的值。（3）判断b2-4ac的符号，当b2-4ac≥0时，代入求根公式，求出x1、x2；当b2-4ac＜0时，原方程无实数根。2、由例题你发现一元二次方程根的情况有哪几种？3、对照教材体会解题过程。课堂练习：教材P42练习1解下列方程：（1）x2+x-6=0（2）03412xx（3）3x2-6x-2=0（4）4x2-6x=0（5）x2+4x+8=4x+11(6)x(2x-4)=5-8x（学生及时巩固，分组板演，教师点评）〈二〉自学课本Ｐ42归纳：讨论：思考：b2-4ac与一元二次方程的根有什么联系？（学生能自己总结出来最好，教师要把“归纳”作简单板书）例2、不解方程，判别下列方程根的情况。（1）3x2+x-1=0(2)x2+4=4x(3)2x2+6=3x解：a=3,b=1,c=-1b2-4ac=12-4×3×(-1)=13＞0所以方程有两个不相等的实数根。（另两个学生独立完成）五、总结反思：（针对学习目标）可由学生自己完成，教师作适当补充。1、经历求根公式推导过程。2、会用公式法解一元二次方程。3、会用b2-4ac判断一元二次方程根的情况。①当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时方程没有实数根；布置作业1、教教材Ｐ45习题22.2第2、用公式法解下列方程：（1）3x2+x-1=0(2)1)2(2xx（3）1141842xxx（4）03412xx课堂练习解下列方程：（1）x2+x-6=0（2）03412xx（3）3x2-6x-2=0（4）4x2-6x=0（5）x2+4x+8=4x+11(6)x(2x-4)=5-8x作业安排2、教教材Ｐ45习题22.2第2、用公式法解下列方程：（1）3x2+x-1=0(2)1)2(2xx（3）1141842xxx（4）03412xx附录（教学资料及资源）疑难分析1．通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法.可以看出,配方是为了降次,把一个一元二次方程转化成两个一元二次方程来解.2.一元二次方程的根由方程的系数a,b,c确定.因此,解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式,当,将a,b,c代入式子就得到方程的根.这个式子就叫做一元二次方程的求根公式,利用它解一元二次方程的方法叫做公式法.由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根.3.用因式分解的方法使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0.从而实现降次,这种解法叫做因式分解法.4.配方法要先配方,再降次;通过配方法可以推出求根公式,公式法直接利用求根公式;因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘,另一边为0,再分别使各个一次式等于0.配方法、公式法适用于所有一元二次方程,因式分解法用于某些一元二次方程.总之,解一元二次方程的基本思想是:将二次方程化为一次方程,即降次.自我问答作为高年级的学生自主学习的能力一直是我所强调的，在教学中各个问题的解答过程往往是不唯一的，这也反映了现实生活的丰富性、多样性和神秘性。在教学中我经常努力挖掘或设计问题答案不唯一的素材，让学生在探索不同的答案中磨练意志、锻炼品质、训练思维、学会创新。