高一数学递推数列特征方程的发现

北京家教上海家教找家教上阳光家教网全国最大家教平台递推数列特征方程的发现一、问题的提出递推(迭代)是中学数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题能力要求高，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和方法。在递推数列中占有重要一席的斐波那契数列，又称兔子数列，是学生非常乐意探讨的递推问题，许多学生都会不约而同地向教师提出，这个数列有通项公式吗？如有，怎样求它的通项公式？笔者就曾碰到过一位喜爱钻研的学生，带着参考书上的解法而向我请教：已知斐波那契数列,3,2(,11121naaaaannn…)，求通项公式na。参考书上的解法是这样的：解此数列对应特征方程为12xx即012xx，解得251x，设此数列的通项公式为nnncca)251()251(21，由初始条件121aa可知，1)251()251(1251251222121cccc，解之得515121cc，所以nnna)251(251(55）。这位学生坦率地表示，尽管参考书上介绍了利用特征方程求通项公式的一些结论，用上述方法得到的通项公式也是正确的，但他还是“看不懂”。换句话说，这种解法的依据是什么？特征方程是怎样来的？我虽然深知这是特征方程惹的祸，但由于现行教材只字未提特征方程，我也从未在课堂上作过补充，如果将有关利用特征方程求递推数列通项的一些结论直接呈现出来，或者以“高考不作要求”为由来搪塞，学生是难以接受的，也是不负责任的。面对一头雾水的数学尖子，我在充分肯定其善于思考、勇于探索的可贵品质的同时，也在苦苦寻觅解答这一问题的良策。其后不久，一次偶然的数学探究活动，竟使这一长期困惑我们教学活动的尴尬问题迎刃而解。二、研究与探索北京家教上海家教找家教上阳光家教网全国最大家教平台问题的解决源于对一阶线性递推数列通项公式的探求：若数列na满足),1(,11cdcaabann其通项公式的求法一般采用如下的参数法，将递推数列转化为等比数列：设tccaatactannnn)1(),(11则，令dtc)1(，即1cdt，当1c时可得)1(11cdaccdann，知数列1cdan是以c为公比的等比数列，11)1(1nnccdacda将ba1代入并整理，得11cdcbdbcannn.将上述参数法类比到二阶线性递推数列,11nnnqapaa能得到什么结论？仿上，我们来探求数列nntaa1的特征：不妨设)(11nnnntaastaa，则11)(nnnstaatsa,令qstpts①（1）若方程组①有两组不同的实数解),(),,(2211tsts,则)(11111nnnnatasata,)(12221nnnnatasata,即nnata11、nnata21分别是公比为1s、2s的等比数列，北京家教上海家教找家教上阳光家教网全国最大家教平台由等比数列性质可得1111211)(nnnsataata,1212221)(1nnnsataata,∵,21tt由上两式消去1na可得nnnsttsatasttsataa22121221211112...（2）若方程组①有两组相等的解2121ttss，易证此时11st，则)(2112111111nnnnnnatasatasata…)(11211atasn，211121111sasasasannnn,即nnsa1是等差数列，由等差数列性质可知21112111.1sasansasann，所以nnsnsasasasasaa1211122111211.．（限于学生知识水平，若方程组①有一对共轭虚根的情况略）这样，我们通过参数方法，将递推数列转化为等比（差）数列，从而求得二阶线性递推数列的通项，若将方程组①消去t即得02qpss，显然1s、2s就是方程qpxx2的两根，我们不妨称此方程为二阶线性递推数列11nnnqapaa的特征方程，于是我们就得到了散见于各种数学参考资料的如下结论：设递推公式为,11nnnqapaa其特征方程为022qpxxqpxx即，1、若方程有两相异根1s、2s，则nnnscsca2211；2、若方程有两等根21ss，则nnsncca121)(.其中1c、2c可由初始条件确定。北京家教上海家教找家教上阳光家教网全国最大家教平台这正是特征方程法求递推数列通项公式的根源所在，令1qp，就可求得斐波那契数列的通项，真是“踏破铁蹄无觅处，得来全不费工夫”！将上述方法继续类比到分式线性递推数列dacbaaannn1（0,,,,cRdcba），看看又会有什么发现？仿照前面方法，等式两边同加参数t，则dacctadtbactatdacbaatannnnn)(1②令ctadtbt，即0)(2btdact③记此方程的两根为21,tt，（1）若21tt，将21,tt分别代入②式可得dactactatannn1111)(dactactatannn2221)(以上两式相除得21212111tatactactatatannnn，于是得到21tatann为等比数列，其公比为21ctacta，数列na的通项na可由121211121)(nnnctactatatatata求得；北京家教上海家教找家教上阳光家教网全国最大家教平台（2）若21tt，将1tt代入②式可得dactactatannn1111)(,考虑到上式结构特点，两边取倒数得111111)(11tactdtacctatannn④由于21tt时方程③的两根满足cdat12，∴11ctdcta于是④式可变形为111111tactactann∴11tan为等差数列，其公差为1ctac，数列na的通项na可由1111)1(11ctacntatan求得．这样，利用上述方法，我们可以把分式线性递推数列转化为等比数列或等差数列，从而求得其通项。如果我们引入分式线性递推数列dacbaaannn1（0,,,,cRdcba）的特征方程为dcxbaxx，即0)(2bxadcx，此特征方程的两根恰好是方程③两根的相反数，于是我们又有如下结论：分式线性递推数列dacbaaannn1（0,,,,cRdcba），其特征方程为dcxbaxx，即0)(2bxadcx，1、若方程有两相异根1s、2s，则21sasann成等比数列，其公比为21csacsa；北京家教上海家教找家教上阳光家教网全国最大家教平台2、若方程有两等根21ss，则11san成等差数列，其公差为1csac.值得指出的是，上述结论在求相应数列通项公式时固然有用，但将递推数列转化为等比（等差）数列的思想方法更为重要。如对于其它形式的递推数列，我们也可借鉴前面的参数法，求得通项公式，其结论与特征方程法完全一致，有兴趣的读者不妨一试。三、应用举例例1、已知数列,5,121aa且)2(4411naaannn，求通项公式na。解设)(11nnnntaastaa，∴11)(nnnstaatsa令44stts可得22ts于是)2(2)2(2221211nnnnnnaaaaaa…112123)2(2nnaa，∴432211nnnnaa，即nna2是以21211a为首项、43为公差的等差数列，∴43)1(212nann，从而22)13(nnna.例2、设数列na满足nnnnaaaaa求,7245,211.解：对等式两端同加参数t得,7252475272475272451nnnnnnnattatatattaata令5247ttt，解之得1t，2，代入上式得,72292,7213111nnnnnnaaaaaa北京家教上海家教找家教上阳光家教网全国最大家教平台两式相除得,21312111nnnnaaaa即31,41212111公比为是首项为aaaann的等比数列，∴134234,34121111nnnnnnaaa从而．四、收获与反思随着普通高中课程改革的逐步深入，要求广大教师在新课标理念指导下，大胆实施课堂教学改革。如何创造性地处理教学内容，无疑是一项十分现实的课题。由于数学知识呈现方式的多样性、解决问题策略的多选择性和数学思维的开放性，教师既要加强学习，不断充实自己的知识结构，做到高屋建瓴而游刃有余，还要不断提高驾驭教材的能力，“用好教材”、“超越教材”而不拘泥于教材，根据学生的实际情况，因材施教，使学生知其然，更知其所以然，帮助学生寻找适合自己的学习方式，“授人以鱼不如授之以渔”，在培养学生学习兴趣的同时激发学生的思维，时时体味“蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”的美妙意境。