随机信号课后习题答案2

2.1随机过程tBtAtXsincos)(，其中为常数，A、B是两个相互独立的高斯变量，并且0][][BEAE，222][][BEAE。求X(t)的数学期望和自相关函数。解：]sin[]cos[]sincos[)]([tBEtAEtBtAEtXEtBEtAEsin][cos][0（0][][BEAE）)]sincos)(sincos[()]()([),(22112121tBtAtBtAEtXtXEttRX]sinsincossinsincoscoscos[2122121212ttBttABttABttAE2122121212sinsin][cossin][][sincos][][coscos][ttBEttBEAEttBEAEttAE212212sinsin][coscos][ttBEttAE（22])[(][][XEXDXE）)(cos122tt)(cos2（12tt）2.2若随机过程X(t)在均方意义下连续，证明它的数学期望也必然连续。证：由均方连续的定义0])()([lim20tXttXEt，展开左式为：)]()()()()()([lim220tXtXttXtXttXttXEt=0))]()()((([))]()()((([{lim0tXttXtXEtXttXttXEt固有0)]([)]([lim0tXEttXEt，证得数学期望连续。2.3证明随机过程存在均方导数的充分条件是：自相关函数在他的自变量相等时存在二阶偏导数2121212),(ttttttR。证：12121101212110121)]()([)]()([lim),(),(lim),(11ttXtXEtXttXEtttRtttRtttRtXt1111201212110)}]()(){([lim)]()()()([lim11ttXttXtXEttXtXtXttXEtt211112111220,021212)}]()(){([)}]()(){([lim),(21tttXttXtXEtXttXttXEttttRtt])}()()}{()({[lim211112220,021tttXttXtXttXEtt在21tt时存在，也就是]})()([{lim20ttXttXEt存在。2.4判断随机过程)cos()(ΦtAtX是否平稳？其中为常数，A、Φ分别为均匀分布和瑞利分布的随机变量，且相互独立。2021)(Φf；0)(2222aeaafaA解：021)cos()][cos(20dΦtΦtE0)][cos(][)]cos([)]([ΦtEAEΦtAEtXE]cos)22[cos(][21}])(cos{)cos([),(22ΦtEAEΦtΦtAEttRXcos][212AE与时间的起点无关，且)]([2tXE因此，是广义平稳的随机过程。2.5证明由不相关的两个任意分布的随机变量A、B构成的随机过程tBtAtX00sincos)(是宽平稳而不一定是严平稳的。其中t0为常数，A、B的数学期望为零，方差2相同。证：0sin][cos][)]([00tBEtAEtXE)](sin)(cos)(sincos[(),(0000tBtAtBtAEttRX)](sinsin)(cossin)(sincos)(coscos[0020000002ttBttABttABttAE20020000002)(sinsin][)(cossin][][)(sincos][][)(coscos][ttBEttBEAEttBEAEttAE)(sinsin][)(coscos][002002ttBEttAE（22])[(][][XEXDXE）02cos)]([2tXE因此，是广义平稳的随机过程。)]sincos)(sincos)(sincos[(),,(303020201010321tBtAtBtAtBtAEtttRX)]sincos)(sinsincossinsincoscoscos[(3030201022010201020102tBtAttBttABttABttAE]sin)sinsincossinsincoscoscos[(]cos)sinsincossinsincoscoscos[(30201032010220102201023020102201022010220103tttBttABttABttBAEtttABttBAttBAttAE]sinsinsin[]coscoscos[30201033020103tttBEtttAE可见，该随机过程构不成三阶平稳，因此不符合严平稳过程的要求。第六次作业：练习二之6、7、8、9、10题2.6有三个样本函数ttxttxtxsin3)(,cos2)(,2)(321组成的随机过程)(tX，每个样本函数发生的概率相等，是否满足严平稳或宽平稳的条件？解：}sin3,cos2,2{)}(),(),({)(321tttxtxtxtX31321PPP31)sin3cos22(31)()]([iiittPtxtXE由于数学期望与时间相关，不为常数，因此不满足一阶平稳，也就不满足严平稳或宽平稳的条件。2.7已知随机过程)cos()(ΦtAtX，Φ为在[2,0]内均匀分布的随机变量，A可能是常数、时间函数或随机变量。A满足什么条件时，)(tX是各态历经过程？解：（1）考查)(tX为平稳过程的条件在A为常数或与Φ不相关的随机变量时，满足}])(cos{)cos([)]()([),(0)]([2ΦtΦtAEtXtXEttRtXEX]}[cos)]22[cos(]{[212EΦtEAEcos][212AE)(XR（2）考查)(tX为各态历经过程的条件在A为常数或与Φ不相关的随机变量时，满足)]([coslim)cos(21lim)(21lim)(tXE0TΦsinTAdtΦtATdttXTtXTTTTTTT而TTTTTTdtΦtΦtATdttXtXTtXtX})(cos{)cos(21lim)()(21lim)()(2TTTdtΦtAT]cos)22[cos(221lim2cos22A只有在A为常数时，满足)()(tXtX)(XR。欲使)(tX是各态历经过程，A必为常数。2.8设)(tX和)(tY是相互独立的平稳随机过程，他们的乘积是否平稳？解：令)()()(tYtXtZYXmmtYEtXEtYtXEtZE)]([)]([)]()([)]([)()()()]()([)]()([)]()()()([),(ZYXZRRRtYtYEtXtXEtYtXtYtXEttR又)]()([)]([222tYtXEtZE)(tX和)(tY的乘积是平稳的。2.9求用)(tX自相关函数及功率谱密度表示的)cos()()(0ΦttXtY的自相关函数及功率谱密度。其中，Φ为在[2,0]内均匀分布的随机变量，)(tX是与Φ相互独立的随机过程。解：}])(cos{)()cos()([)]()([),(00ΦttXΦttXEtYtYEttRY}])(cos{)[cos()]()([00ΦtΦtEtXtXE0cos)(21XR)(YR)]()([41])[(41])[(41cos)(21)()(00)()(00000XXjjXjjjXjXjYYSSdeeRdeeeRdeRdeRS2.10平稳高斯过程)(tX的自相关函数为eRX21)(，求)(tX的一维和二维概率密度。解：021lim)(lim)(2eRRmXXX0Xm21)()0(2XXXRR（1）)(tX的一维概率密度：2212121),(212xxXeetxf（2）平稳高斯过程n维概率密度等于n个以为概率密度的乘积。2221211),;,(xXettxxf2.11对于两个零均值联合平稳随机过程)(tX和)(tY，已知10,522YX，说明下列函数是否可能为他们的自相关函数，并说明原因。33)(5)()5(46)()3()6cos()()1(2euReReRXYYeRRRXXY5)()6()5sin(5)()4(]3)3sin([5)()2(2解：（a）自相关函数是偶函数，仅有(1)、(2)、(3)、(6)满足；（b）)()0(XXRR，（a）中仅有(2)、(3)、(6)满足；（c）对于非周期平稳过程有)()0(2XXXRR，（b）中仅有(6)满足。因此，(6)是自相关函数。2.12求随机相位正弦信号)cos()(0ΦttX的功率谱密度，Φ为在[2,0]内均匀分布的随机变量，0是常数。解：000cos21}])(cos{)[cos()]()([),(ΦtΦtEtXtXEttRX)]()([2cos21)()(000dedeRSjjXX2.13已知随机过程niiitXatX1)()(，式中ia是常数，)(tXi是平稳过程，并且相互之间是正交的，若)(XiS表示)(tXi的功率普密度，证明)(tX功率谱密度为)()(12XiniiXSaS证：因)(tXi是平稳过程，并且相互之间是正交的，jiRij,0)(。])()([)]()([)(11niiiniiiXtXatXaEtXtXER)()]()([1212XiniiiiniiRatXtXEa)()()()(1212XiniijXiniijXXSadeRadeRS2.14由)(tX和)(tY联合平稳过程定义了一个随机过程ttYttXtV00sin)(cos)()(（1）)(tX和)(tY的数学期望和自相关函数满足那些条件可使)(tV是平稳过程。（2）将（1）的结果用到)(tV，求以)(tX和)(tY的功率谱密度和互谱密度表示的)(tV的功率谱密度。（3）如果)(tX和)(tY不相关，那么)(tV的功率谱密度是什么？解：（1）ttYEttXEttYttXEtVE0000sin)]([cos)]([]sin)(cos)([)]([欲使)]([tVE与时间无关，不随时间函数t0cos、0sint变化，)(tX和)(tY的数学期望必须是0)]([,0)]([tYEtXE；)(sinsin)()(cossin)()(sincos)()(coscos)()(sinsin)]()([)(cossin)]()([)(sincos)]()([)(c