随机变量概率分布问题专题复习

随机变量概率分布问题专题复习甲、乙两人玩一种游戏：甲从放有x个红球、y个白球、z个(,,1,10xyzxyz≥)黄球的箱子中任取一球,乙从放有5个红球、3个白球、2个黄球的箱子中任取一球.规定:当两球同色时为甲胜，当两球异色时为乙胜.⑴用,,xyz表示甲胜的概率；⑵假设甲胜时甲取红球、白球、黄球的得分分别为1分、2分、3分，甲负时得0分，求甲得分数的概率分布，并求E最小时的,,xyz的值.解：⑴甲取红球、白球、黄球的概率分别为10x，10y，10z；乙取红球、白球、黄球的概率分别为510，310，210.故甲胜的概率5321532100100100100xyzPxyz.………………4分(2)0,1,2,3从而的分布列为：0123P5321100xyz5100x3100y2100z由10xyz，得1156660100100Exyzx.………………8分由,,xyz≥1,知1≤x≤8，故当x=8,1yz时,max1325E.………………10分某商场为促销设计了一个抽奖模型，一定数额的消费可以获得一张抽奖券，每张抽奖券可以从一个装有大小相同的4个白球和2个红球的口袋中一次性摸出3个球，至少摸到一个红球则中奖.(1)求一次抽奖中奖的概率；(2)若每次中奖可获得10元的奖金，一位顾客获得两张抽奖券，求两次抽奖所得的奖金额之和X(元)的概率分布和期望()EX.解：(1)设“一次抽奖中奖”为事件A，则5420163614222412CCCCCAP答：一次抽奖中奖的概率为54．…………………5分(2)X可取0，10，2004.02.002XP，32.02.08.01012CXP，64.08.0202XPX的概率分布列为1664.02032.01004.00)(XE．…………………10分某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行4次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不再参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加4次测试。假设某学生每次通过测试的概率都是23，每次测试时间间隔恰当，每次测试通过与否互相独立.（Ⅰ）求该学生在前两次测试中至少有一次通过的概率；（Ⅱ）如果考上大学或参加完4次测试，那么测试就结束.记该生参加测试的次数为X，求X的分布列及X的数学期望.解：（Ⅰ）记“该生在前两次测试中至少有一次通过”的事件为事件A，则P(A)=2281139答：该生在前两次测试中至少有一次通过的概率为89。…………………………4分（Ⅱ）参加测试次数X的可能取值为2，3，4，224(2)39PX，122128(3)...33327PXC，23132117(4).33327PXC，……………………………………………7分故X的分布列为：X234X01020P0.040.320.64p4982772748776()2349272727EX……………………………………………10分甲乙两个奥运会主办城市之间有7条网线并联，这7条网线能通过的信息量分别为l，1，2，2，2，3，3，现从中任选三条网线，设可通过的信息总量为X，若可通过的信息量X≥6，则可保证信息通畅．（1）求线路信息通畅的概率；（2）求线路可通过的信息量X的分布列；（3）求线路可通过的信息量X的数学期望．解：（1）212121233222337738(8),(7)3535CCCCCCPXPXCC,111323233713(6)35CCCCPXC…分所以线路信息通畅的概率为2435…………………………………………………………4分（2）212121223223337783(5),(4)3535CCCCCCPXPXCC………………………………6分X的分布列为………………………………………………………8分X45678P3358351335835335（3）由分布列知43586137883()63535353535EX………14分一个暗箱中有3只白球与2只黑球共5只球，每次从中取出一只球，取到白球得2分，取到黑球得3分．甲从暗箱中有放回地依次取出3只球，乙从暗箱中无放回地依次取出3只球．(Ⅰ)写出甲总得分的分布列；(Ⅱ)求甲总得分大于乙总得分的概率；(Ⅲ)试证明甲抽取n次得分的数学期望为512n．解:(Ⅰ)甲总得分情况有6分、7分、8分、9分四种可能，记为甲总得分。12527533)6(P，125545352213)7(CP125365352223)8(CP，1258523)9(P2分6789P(x=)1252712554125361258(Ⅱ)对于乙,设“取出3只白球得6分为事件Ａ”，则101)(3533CCAp；设“取出2只白球1只黑球得7分为事件Ｂ”，则53106)(351223CCCBp；设“取出1只白球2只黑球得8分为事件Ｃ”，则103)(352213CCCCp4分甲总得分大于乙总得分有：甲得9分时1P1258甲得8分时2P625126)53101(12536甲得7分时3P6252710112554故甲总得分大于乙总得分的概率为：P1258+625126+62527=6251936分(Ⅲ)记甲n次得分变量为X，则X的所有可能的取值有3n-i(i=0，1，2，…，n)即取到i个白球，n-i个黑球分值为2i+3(n-i)=3n-i8分)3(inXp=iniinC)52()53(，iniinniniiniininiinniCiCnCknXE)52()53()52()53(3)52()53()3()(000=nnnCnnCnniniinniiniinni512533)52()53(533)52()53(31111111，故命题得证.10分