2018全国3卷第21题的命题背景及解法探究

2018全国3卷第21题的命题背景及解法探究《高观点下函数导数压轴题的系统性解读》不得不读淘宝上的博约书斋店铺：唯一正版且第二版例.（2018全国3卷第21题）已知函数xxaxxxf21ln22（1）若0a，证明：当01x时，0xf；当0x时，0xf；（2）若0x是xf的极大值点，求a【解析】（1）若0a，则221ln221ln2xxxxxxxxf令221lnxxxxg，则0212411'222xxxxxxg所以xg在,0单增，又因为00g故当01x时，00gxg，即0xf；当0x时，00gxg，即0xf；点评：如果直接求导，完全处理掉对数，需要二次求导，而《高观点下函数导数压轴题的系统性解读》在第四章在4.6和4.7两个技巧，其中之一就是对函数的处理，希望对数函数单独存在，则一次求导就瞬间可破。（2）尝试一：（极大值点的第二充要条件：已知函数yxf在0xx处各阶导数都存在且连续，0xx是函数的极大值点的一个充要条件为前12n阶导数等于0，第n2阶导数小于0。）2121ln21'2xaxxxaxxf，00'f2211431ln22121ln21''xaaxxxaxaxxxaxxf，00''f3211662'''xaxaxaxxf，由0'''xf得61a下证：当61a时，0x是xf的极大值点，31631'''xxxxf，所以xf''在0,1单增，在,0单减进而有00''''fxf，从而xf'在,1单减，当0,1x时，00''fxf，当,0x时，00''fxf从而xf在0,1单增，在,0单减，所以0x是xf的极大值点。《高观点下函数导数压轴题的系统性解读》一书在第三章大学知识在导数中的应用，3.1节介绍的是极值点的两个充要条件，借助第二充要条件即可突破，并且以2016山东文科压轴题为例进行应用。（点评：计算量很大，但不失为一种基本方法，激励热爱数学的学生不拘泥于老师所教，就着自己的兴趣，不断学习，学而致知。基于此，还可以从大学的角度给出一种解法。通过1lnxy在2,1阶的帕德逼近可得2612121lnxxxx，且两个函数在0x处两个函数可以无限制逼近，估计这也是考试中心构造这个函数的方法。由此可以迅速得到61a，我们也可以根据帕德逼近把此题的对数函数改为指数函数和三角函数，构造出相应的题目。尝试一难点在于xf的各阶导数太复杂，由帕德逼近优化其解法。《高观点下函数导数压轴题的系统性解读》副主编张栩瑞一书在3.6节介绍了各种无理数的估值和函数的逼近，利用这个可以变出很好地改编高考压轴题，现在已经以三角函数、指数函数编出了好几个题。下面也是他基于对帕德逼近推导的深刻，给出了一个更优化的解法。引理1：若yxf与xgxqxp在0xx处函数值和导数值都相同，则xpxfxqxh在0xx处导数为0.证明：xpxfxqxfxqxh''''，xqxqxpxqxpxg2'''因为00''xgxf，且00xgxf，代入化简即证：0'0xh引理2：已知函数yxf在0xx处各阶导数都存在且连续，0xx是函数的极大值点的一个充要条件为前12n阶导数等于0，第n2阶导数小于0。2121ln21'2xaxxxaxxf，令1ln21xaxxm，2122xaxxxu则易得00um，0'0'um，0''0''um，由引理1知，0'''0'''um等价于0'''xf，从而迅速求得61a。当61a时，004f尝试二：若0x是xf的极大值点，注意到00'f，则存在充分接近于0的，使得当0,x时，0'xf，当,0x时，0'xf*得到一个恒成立问题，其基本方法之一有分离参数法。11ln11ln2'2xxxaxxxxxf对任意的,1x，都有01ln2xx，进而有011ln22xxxx①当,0x时，11ln21ln12xxxxxxxa，当0时，'11ln2'1ln1lim11ln21ln1lim2020xxxxxxxxxxxxxxaxx6146121ln141lim431ln12lim0220xxxxxxxxxxx②当0,x时，11ln21ln12xxxxxxxa，当0时，'11ln2'1ln1lim11ln21ln1lim2020xxxxxxxxxxxxxxaxx6146121ln141lim431ln12lim0220xxxxxxxxxxx综上：61a（点评：把复杂问题转化为基本问题，这是一种基本方法，即把问题转化为两个恒成立，求参数的值。这在淘宝上的博约书斋店铺的《全国卷高考数学的分析及应对》已经把转化为基本问题视为破解压轴题的有效策略，还有思维说、方法论（笛卡尔），非常有效，可以给出全国卷很多压轴题新的解法。在《高观点下函数导数压轴题的系统性解读》的3.2节以邻域的观点给出极值点的充要条件，有助于学生对极值点的准确理解，从而避开了求导研究单调性，直接用罗必塔法则。《高观点下函数导数压轴题的系统性解读》的3.1节系统地论述了极限和洛必达法则。）尝试三：按照波利亚的解题策略，我们联想到一个类似的题目，其思维方法是可以借鉴的。此题改编于《高观点下函数导数压轴题的系统性解读》早已泄露天机，并以此题进行原创，得到一个题目，在去年高考前夕发出。在百度上搜导数压轴题的命题思路可以发现。在今年6月7号上午十点的很多群里再次可以看到。由此看到《全国卷高考数学的分析及应对》绝对透析了全国卷的考查特点，一定要认真阅读，特别适合老师阅读。