选修2-1343空间向量空间距离

空间向量之应用3利用空间向量求距离如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作a⊥.如果a⊥，那么向量a叫做平面的法向量.la已知向量ABa和轴l，e是l上与l同方向的单位向量.作点A在l上的射影A1，作点B在l上的射影B1，则A1B1叫做向量AB在轴上或在e方向上的正射影，简称射影.blABB1A1n11ABnABn已知向量ABa和轴l，e是l上与l同方向的单位向量.作点A在l上的射影A1，作点B在l上的射影B1，则A1B1叫做向量AB在轴上或在e方向上的正射影，简称射影.nPAOMNPAndn方法指导：若点P为平面α外一点，点A为平面α内任一点，平面的法向量为n，则点P到平面α的距离公式为一、求点到平面的距离这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的绝对值.如图A,空间一点P到平面的距离为d,已知平面的一个法向量为n,且AP与n不共线,能否用AP与n表示d?如何用向量法求点到平面的距离：分析:过P作PO⊥于O,连结OA.则d=|PO|=||cos.PAAPO∵PO⊥,,n∴PO∥n.∴cos∠APO=|cos,PAn|.∴d=|PA||cos,PAn|=|||||cos,|||PAnPAnn=||||PAnn.nAPO例1、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面GEF的距离。DABCGFExyzDABCGFExyz解：如图，建立空间直角坐标系C－xyz．由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．(2,2,0),(2,4,2),EFEG设平面EFG的一个法向量为(,,)nxyz:如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离.nEFnEG，|BE|211.11ndn2202420xyxy11(,,1),33nB(2,0,0)E答:点B到平面EFG的距离为21111.例1练习1:的距离。到平面求，，，平面SCDAaADaBCABSAABCDABABCDSA,290SBCDAxyz练习(用向量法求距离):如图,ABCD是矩形,PD平面ABCD,PDDCa,2ADa,、MN分别是、ADPB的中点,求点A到平面MNC的距离.APDCBMN练习2:DMPNAxCBzy：如图,以D为原点建立空间直角坐标系D－xyz则D(0,0,0),A(2a,0,0),B(2a,a,0),C(0,a,0),P(0,0,a)∵、MN分别是、ADPB的中点,∴2(,0,0)2Ma211(,,)222Naaa∴2(,,0)2MCaa,11(0,,)22MNaa,2(,0,0)2MAa设(,,)nxyz为平面MNC的一个法向量,∴,nMNnMC∴202nMCaxay且022aanMNyz解得22xyz,∴可取(2,1,1)m∴MA在n上的射影长2MAnadn即点A到平面MNC的距离为2a.设直线l,m的方向向量分别为,ab，平面,b的法向量分别为,uv，则asin,dAPAPa点P与直线l的距离为d,则二、求点与直线间距离ABCD1A1B1C1DExyz例2如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求点E到直线A1B的距离.解1ABCD1A1B1C1DExyz例如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求点E到直线A1B的距离.建立坐标系111解2:.AE=(-1,,0),AB=(0,1,-1)2111cos,10AEAB113sin,10AEAB点E到直线A1B的距离为1113sin,24dAEAEAB例3、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线BD到平面GEF的距离。DABCGFExyz三、求直线与平面间距离|BE|211.11ndn正方体AC1棱长为1，求BD与平面GB1D1的距离A1B1C1D1ABCDXYZnnDDd1练习3:G例4、正方体AC1棱长为1，求平面AD1C与平面A1BC1的距离A1B1C1D1ABCDXYZ四、求平面与平面间距离nnADd练习4、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点，求平面AMN与平面EFDB的距离。ABCDA1B1C1D1MNEFxyznnABdBAMNnABndnab五、求异面直线的距离nabAB方法指导:①作直线a、b的方向向量a、b，求a、b的法向量n，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量；②在直线a、b上各取一点A、B，作向量AB；③求向量AB在n上的射影d，则异面直线a、b间的距离为zxyABCC1EA1B1.已知直三棱柱111─ABCABC的侧棱14AA,底面△ABC中,2ACBC,90BCA,E是AB的中点,求异面直线CE与1AB的距离.例5zxyABCC1).4,2,0(),0,0,2(),0,1,1(),0,0,0(,1BAECxyzC则解：如图建立坐标系),4,2,2(),0,1,1(1BAEC则的公垂线的方向向量为设).,,(,1zyxnBAEC100nCEnAB即02240xyxyz取x=1,z则y=-1,z=1,所以)1,1,1(n).0,0,1(,,ACAC在两直线上各取点1||23.||3nCACEABdn与的距离EA1B1.已知直三棱柱111─ABCABC的侧棱14AA,底面△ABC中,2ACBC,90BCA,E是AB的中点,求异面直线CE与1AB的距离.例5已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线DA1与AC的距离。ABDCA1B1C1D1xyz练习5练习6:如图,的距离。与，求距离为的到面，点所成的角为面与，且面是正方形，SDACABCDSABCDSAABCDSBABCD145ASCDBxyz结论1点P到平面的距离可以通过，在平面内任取一点A，求向量PA在平面的法向量n上的投影来解决.nPAOMNPAndn结论2异面直线间的距离可以通过，在两条直线上任意各取一点A、B，求向量AB在公共法向量n上的投影来解决.BAMNnABndnab评述：此题用找公垂线的方法比较难下手，用向量代数的方法则简捷，高效，显示了向量代数方法在解决立体几何问题的优越性平行平面间的距离可转化为直线到平面的距离或再转化为点到平面的距离小结：1、怎样利用向量求距离？①点到平面的距离：连结该点与平面上任意一点的向量在平面定向法向量上的射影（如果不知道判断方向，可取其射影的绝对值）。②点到直线的距离：求出垂线段的向量的模。③直线到平面的距离：可以转化为点到平面的距离。④平行平面间的距离：转化为直线到平面的距离、点到平面的距离。⑤异面直线间的距离：转化为直线到平面的距离、点到平面的距离。也可运用闭合曲线求公垂线向量的模或共线向量定理和公垂线段定义求出公垂线段向量的模。