随机过程第三章

11.计数过程：称随机过程,0Ntt为计数过程，若Nt表示到时刻t为止已发生的”事件A”的总数，且Nt满足下列条件：10;23,4,-,NtNtstNsNtstNtNsst取正整数值；若则；当时则等于区间中“事件A?发生的次数。2.独立增量计数过程：1221321...,,...nnntttNtNtNtNtNtNt对于独立。3.平稳增量计数过程：,0,ttssANtsNts在内，事件发生的次数仅与时间间隔有关，而与初始时刻无关。4.泊松过程：称计数过程,0Xtt为具有参数0的泊松过程，若他满足下列条件：100;230,,1.2.3....!ntXXttAtstPXtsXsnenn是独立增量过程；在任一长度为的区间内，事件发生的次数服从参数为的泊松分布，即对任意0，有注：泊松分布为平稳增量过程；,EXtt称为速率或强度。5.泊松过程定义二：称计数过程,0Xtt为具有参数0的泊松过程若他满足下列条件：100;231;;2.XXtXtPXthXthhPXthXtnhn是独立、平稳增量过程；满足下列两式：条件三说明：在充分少的时间间隔内，最多有一个事件发生，而不能有两个或两个以上的事件同时发生。26.泊松过程的基本性质：一分布函数1.一维分布律：,1,2,3...!,1.2.3....!000ktnttPXtkekktPXtsXsnennsXsX2.一维特征函数：exp1iuXgute3.二维分布律：,,0!!kjkjtstsPXsjXtkestjkj4.数字特征：设,0Xtt是泊松过程，对任意的,0,st,且st有：2,00,,,,1,,,,min,.XXXXXEXtXsDXtXstsXmtEXtttDXttRsttsBstsBstst由于故一般而言：泊松过程的协方差函数可以表示为：5.性质：泊松过程是平稳独立增量过程；是马尔科夫过程；是生灭过程；是均方连续、均方可积、均方不可导的二阶据过程；是非平稳过程、但为平稳增量过程。二与时间特征有关的分布：1.设,0Xtt是泊松分布，Xt表示t时刻事件A（顾客出现）发生的次数，nW表示第n次事件A发生的时间（n=1）,也称第n次事件A的等待时间，或到达时间，nT表示第n-1此事件A发生到第n次事件A发生的时间间隔。2.时间间隔的分布：设,0Xtt是为具有参数0的泊松分布，,1nTn是对应的时间间隔序列，则随机变量nT是独立同分布的均值为1指数分布。nT的概率密度为：,00,0ntTetftt；21;1;nnnTETDTguiu。33.等待时间的分布：等待时间nW即第n次事件A到达的时间。1,1nniiWTn。设,1nWn是与泊松过程,0Xtt对应的一个等待时间序列，则nW服从参数为n和分布。其概率密度为：1,01!0,0nntWtetftnt；2;;nnnnWnEWnDWnguiu4.到达时间的条件分布：假设在0,t内事件A已经发生了一次，这一事件到达时间1W的概率：11,1111,01101PWsXtPWsXtPXtPXsXtXsPXtPXsPXtXsstPXt即概率密度为：111,00,WXtstfst其他事件的到达时间[0,t]上服从均匀分布。5.设,0Xtt是泊松分布，已知在0,t内事件A已经发生了n次，则这n次到达时间12,,...,n个0,t上的均匀分布的独立随机变量的顺序统计量有相同的分布。12,,...,n在Xtn的条件下的联合概率密度函数：1212!,0,...,,,...,0nnnnttttftttXtnt其它三非齐次泊松分布：1.计数过程,0Xtt为具有跳跃强度函数t的非齐次泊松过程，他满足下列条件：4100;231,2.XXtPXthXtthhPXthXth是独立增量过程；2.均值函数：0tXmtsds3.方差函数：0tXDtDXtsds4.概率分布：设,0Xtt为具有均值函数0tXmtsds的非齐次泊松分布则有：exp;0!exp!nXXXXnXXPXtsXtnmtsmtmtsmtnnPXtnmtmtn或四复合泊松过程1.设,0Ntt是强度为的泊松过程，,1.2.3....kYk是一列独立同分布随机变量，且与,0Ntt独立，令1,0NtkkXtYt则称,0Xtt为复合泊松过程。2.设1,0NtkkXtYt则称,0Xtt为复合泊松过程则：11,02exp1.YXtYXttXtgutgugu是独立增量过程；的特征函数为其中是随机变量Y的特征函数，是事件的到达率。作业2.3.4.7.9.10