走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学3-2

基础巩固强化一、选择题1．(文)(2012·陕西文，9)设函数f(x)＝2x＋lnx，则()A．x＝12为f(x)的极大值点B．x＝12为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点[答案]D[解析]由f′(x)＝－2x2＋1x＝1x(1－2x)＝0可得x＝2.当0x2时，f′(x)0，f(x)单调递减，当x2时f′(x)0，f(x)单调递增．所以x＝2为极小值点．(理)(2012·陕西理，7)设函数f(x)＝xex，则()A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点[答案]D[解析]本题考查了导数的应用—求函数的极值．f′(x)＝ex＋xex，令f′(x)＝0，∴ex＋xex＝0，∴x＝－1，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＝ex＋xex0，x∈(－1，＋∞)时，f′(x)＝ex＋xex0，∴x＝－1为极小值点，故选D.[点评]求函数的极值要讨论在各区间内导函数值的符号，同时要注意函数的定义域．2．(2013·贵州四校期末)已知函数f(x)＝x3－2x2－4x－7，其导函数为f′(x)．则以下四个命题：①f(x)的单调减区间是(23，2)；②f(x)的极小值是－15；③当a2时，对任意的x2且x≠a，恒有f(x)f(a)＋f′(a)(x－a)；④函数f(x)有且只有一个零点．其中真命题的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个[答案]C[解析]f′(x)＝3x2－4x－4＝(3x＋2)(x－2)，可得f(x)在(－∞，－23)上为增函数，在(－23，2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，故①错误；f(x)极小值＝f(2)＝－15，故②正确；在(2，＋∞)上，f(x)为“下凸”函数，又a2，x≠a，当xa时，有fx－fax－af′(a)恒成立；当xa时，有fx－fax－af′(a)恒成立，故恒有f(x)f(a)＋f′(a)(x－a)，故③正确；f(x)极大值＝f(－23)0，故函数f(x)只有一个零点，④正确．真命题为②③④，故选C.3．(文)(2013·郑州第一次质量预测)直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值为()A．2B．－1C．1D．－2[答案]C[解析]∵直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，且y＝x3＋ax＋b的导数y′＝3x2＋a，∴3＝k×1＋13＝13＋a×1＋bk＝3×12＋a，解得a＝－1，b＝3，∴2a＋b＝1.(理)(2013·昆明调研)若曲线f(x)＝acosx与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b＝()A．－1B．0C．1D．2[答案]C[解析]依题意得，f′(x)＝－asinx，g′(x)＝2x＋b，于是有f′(0)＝g′(0)，即－asin0＝2×0＋b，b＝0，m＝f(0)＝g(0)，即m＝a＝1，因此a＋b＝1，选C.4．(2012·洛阳统考)若函数f(x)＝2x3－9x2＋12x－a恰好有两个不同零点，则a可能为()A．4B．6C．7D．8[答案]A[解析]f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)，由f′(x)0得x1或x2，由f′(x)0得1x2，所以函数f(x)在(－∞，1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，从而可知f(x)的极大值和极小值分别为f(1)、f(2)，欲使函数f(x)恰好有两个不同的零点，则需使f(1)＝0或f(2)＝0，解得a＝5或a＝4，而选项中只给出了一个值4，所以选A.5．(文)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)内的极大值点有()A．1个B．2个C．3个D．4个[答案]B[解析]由导函数的图象知，f(x)在(a，b)内变化情况为增→减→增→减，故有两个极大值点．(理)(2012·重庆理，8)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如下图所示，则下列结论中一定成立的是()A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)[答案]D[解析]当x－2时，1－x3，则f′(x)0；当－2x1时，01－x3，则f′(x)0；∴函数f(x)有极大值f(－2)，当1x2时，－11－x0，则f′(x)0；x2时，1－x－1，则f′(x)0，∴函数f(x)有极小值f(2)，故选D.6．(文)已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为()A.427，0B．0，427C．－427，0D．0，－427[答案]A[解析]f′(x)＝3x2－2px－q，由f′(1)＝0，f(1)＝0得，3－2p－q＝0，1－p－q＝0.解得p＝2，q＝－1.∴f(x)＝x3－2x2＋x，由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0得x＝13或x＝1，易得当x＝13时f(x)取极大值427，当x＝1时f(x)取极小值0.(理)(2013·浙江理，8)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则()A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值[答案]C[解析]①当k＝1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)，此时f′(x)＝ex(x－1)＋(ex－1)＝ex·x－1，∴A、B项均错．②当k＝2时，f(x)＝(ex－1)(x－1)2此时f′(x)＝ex(x－1)2＋(2x－2)(ex－1)＝ex·x2－2x－ex＋2＝ex(x＋1)(x－1)－2(x－1)＝(x－1)[ex(x＋1)－2]，显然f′(1)＝0，x1时f′(x)0，x1时，在x＝1附近x－10，ex(x＋1)2，∴f′(x)0，故f(x)在x＝1处取得极小值．二、填空题7．(文)函数f(x)＝x3＋3x2－9x的单调减区间为________．[答案][－3,1][解析]f′(x)＝3x2＋6x－9，由f′(x)≤0得－3≤x≤1，∴f(x)的单调减区间为[－3,1]．(理)已知函数f(x)＝mx3＋nx2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x＋y＝0平行，若f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，则实数t的取值范围是________．[答案][－2，－1][解析]由题意知，点(－1,2)在函数f(x)的图象上，故－m＋n＝2①又f′(x)＝3mx2＋2nx，由条件知f′(－1)＝－3，故3m－2n＝－3②联立①②解得：m＝1，n＝3，即f(x)＝x3＋3x2，令f′(x)＝3x2＋6x≤0，解得－2≤x≤0，则[t，t＋1]⊆[－2,0]，故t≥－2且t＋1≤0，所以t∈[－2，－1]．[点评]f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，故[t，t＋1]是f(x)的减区间的子集．8．已知函数f(x)＝x3－kx在区间(－3，－1)上不单调，则实数k的取值范围是________．[答案]3k27[解析]f′(x)＝3x2－k.由3x2－k0，得x2k3，若k≤0，则f(x)显然在(－3，－1)上单调递增，∴k0，∴xk3或x－k3.由3x2－k0得－k3xk3，∴f(x)在－∞，－k3上单调递增，在(－k3，k3)上单调递减，在k3，＋∞上单调递增，由题设条件知－3－k3－1，∴3k27.9．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值为3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为________．[答案]－37[解析]f′(x)＝6x2－12x，由f′(x)＝0得x＝0或x＝2，当x0或x2时，f′(x)0，当0x2时，f′(x)0，∴f(x)在[－2,0]上单调增，在[0,2]上单调减，由条件知f(0)＝m＝3，∴f(2)＝－5，f(－2)＝－37，∴最小值为－37.三、解答题10．(文)若函数f(x)＝13x3－12ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a的取值范围．[解析]函数f(x)的导数f′(x)＝x2－ax＋a－1.令f′(x)＝0，解得x＝1，或x＝a－1.当a－1≤1即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，不合题意；当a－11即a2时，函数f(x)在(－∞，1)上为增函数，在(1，a－1)上为减函数，在(a－1，＋∞)上为增函数．依题意当x∈(1,4)时，f′(x)0；当x∈(6，＋∞)时，f′(x)0.所以4≤a－1≤6，解得5≤a≤7.所以a的取值范围为[5,7]．(理)已知f(x)＝ax3－2ax2＋b(a≠0)．(1)求出f(x)的极值；(2)若f(x)在区间[－2,1]上最大值是5，最小值是－11，求f(x)的解析式．[解析](1)f′(x)＝3ax2－4ax，令f′(x)＝0⇒x＝0或x＝43.当a0时，x(－∞，0)0(0，43)43(43，＋∞)y′＋0－0＋y增函数极大值减函数极小值增函数所以当x＝0时，y取得极大值b，当x＝43时，y取得极小值b－3227a，同理当a0时，x＝0时，y取得极小值b，x＝43时，y取得极大值b－3227a.(2)当a0时，f(x)在[－2,0)上单调递增，在(0,1]上单调递减，所以f(x)max＝f(0)＝b＝5.又f(－2)＝b－16af(1)＝b－a，所以b－16a＝－11，a＝1.当a0时，f(x)在[－2,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝b＝－11.又f(－2)＝b－16af(1)＝b－a，所以b－16a＝5，a＝－1.综上，f(x)＝x3－2x2＋5或f(x)＝－x3＋2x2－11.能力拓展提升一、选择题11．(文)已知实数a、b、c、d成等比数列，且曲线y＝3x－x3的极大值点坐标为(b，c)，则ad等于()A．2B．1C．－1D．－2[答案]A[解析]∵a、b、c、d成等比数列，∴ad＝bc，又(b，c)为函数y＝3x－x3的极大值点，∴c＝3b－b3，且0＝3－3b2，∴b＝1，c＝2，或b＝－1，c＝－2.∴ad＝2.(理)已知函数f(x)＝ax2－1的图象在点A(1，f(1))处的切线l与直线8x－y＋2＝0平行，若数列1fn的前n项和为Sn，则S2010的值为()A.20102011B.10052011C.40204021D.20104021[答案]D[解析]∵f′(x)＝2ax，∴f(x)在点A处的切线斜率为f′(1)＝2a，由条件知2a＝8，∴a＝4，∴f(x)＝4x2－1，∴1fn＝14n2－1＝12n－1·12n＋1＝1212n－1－12n＋1，∴数列1fn的前n项和Sn＝1f1＋1f2＋…＋1fn＝121－13＋1213－15＋…＋1212n－1－12n＋1＝121－12n＋1＝n2n＋1，∴S2010＝20104021.12．(文)函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)1，则不等式ex·f(x)ex＋1的解集为()A．{x|x0}B．{x|x0}C．{x|x－1，或x1}D．{x|x－1，或0x1}[答案]A[解析]构造函数g(x)＝ex·f(x)－ex，因为g′(x)＝ex·f(x)＋ex·f′(