走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学8-5

基础巩固强化一、选择题1．(2013·北京)双曲线x2－y2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是()A．m12B．m≥1C．m1D．m2[答案]C[解析]双曲线离心率e＝1＋m2，所以m1，选C.2．(文)(2012·石家庄质检)已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为5，则它的渐近线方程为()A．y＝±2xB．y＝±52xC．y＝±12xD．y＝±6x[答案]C[解析]设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，∵e＝ca＝5，c＝a2＋b2，∴a2＋b2a2＝1＋ba2＝5，∴ba＝2，∴双曲线的渐近线方程为y＝±12x，故选C.(理)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程为y＝±33x，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线的方程为()A.x24－3y24＝1B.3x24－y24＝1C.x24－y24＝1D.x24－4y23＝1[答案]A[解析]由渐近线方程为y＝±33x知，ba＝33，∴a＝3b，①又顶点到渐近线距离为1，∴|ba|a2＋b2＝1，②由①②得，a＝2，b＝233，∴选A.3．(2013·广东六校联考)在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－5,0)和C(5,0)，若顶点B在双曲线x216－y29＝1上，则sinA|sinA－sinC|为()A.32B.23C.54D.45[答案]C[解析]设△ABC中角A、B、C所对的边分别是a、b、c，由正弦定理得sinB|sinA－sinC|＝|AC|||BC|－|AB||，由双曲线的标准方程和定义可知，A、C是双曲线的焦点，且|AC|＝10，||BC|－|AB||＝8.所以sinB|sinA－sinC|＝54，故选C.4．(文)(2013·保定调研)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线方程是y＝3x，它的一个焦点在抛物线y2＝48x的准线上．则双曲线的方程为()A.x29－y227＝1B.x236－y2108＝1C.x2108－y236＝1D.x227－y29＝1[答案]B[解析]由题意可知c＝12，a2＋b2＝c2，ba＝3.解得a2＝36，b2＝108.所以选B.(理)(2013·辽宁六校联考)设P(2，5)是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线上的一点，E、F分别是双曲线的左、右焦点，若EP→·FP→＝0，则双曲线的方程为()A.x23－y24＝1B.x24－y23＝1C.x24－y25＝1D.x25－y24＝1[答案]C[解析]由条件易得ba＝52，且(2＋c，5)·(2－c，5)＝(2＋c)(2－c)＋5＝9－c2＝0，∴c2＝9，a2＝4，b2＝5，故选C.5．(文)设椭圆C1的离心率为513，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为()A.x242－y232＝1B.x2132－y252＝1C.x232－y242＝1D.x2132－y2122＝1[答案]A[分析]首先根据椭圆的离心率与长轴长求焦距，再根据双曲线的定义，求曲线C2的标准方程．[解析]在椭圆C1中，因为e＝513，2a＝26，所以椭圆的焦距2c＝10，根据题意，可知曲线C2为双曲线，根据双曲线的定义可知，双曲线C2中的2a＝8，焦距与椭圆的焦距相同，即2c＝10，可知b＝3，所以双曲线的标准方程为x242－y232＝1，故选A.(理)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为2，一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为()A.x22－y26＝1B.x26－y22＝1C.x212－y24＝1D.x24－y212＝1[答案]D[解析]抛物线y2＝16x的焦点坐标是(4,0)，于是有a2＋b2＝4，a2＋b2a＝2，由此解得a2＝4，b2＝12，故双曲线的方程是x24－y212＝1，选D.6．(2013·淮北二模)过已知双曲线x24－y2b2＝1(b0)的左焦点F1作⊙O2：x2＋y2＝4的两条切线，记切点为A，B，双曲线的左顶点为C，若∠ACB＝120°，则双曲线的离心率为()A.12B.2C.3D．2[答案]D[解析]如图，∵∠OCA＝60°，|OC|＝|OA|＝2，∴∠AOC＝60°，∠AF1C＝30°，∴e＝ca＝|OF1||OA|＝1sin30°＝2.二、填空题7．(文)若双曲线y216－x2m＝1的离心率e＝2，则m＝________.[答案]48[解析]∵16＋m4＝2，∴m＝48.(理)已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线为mx－y＝0，若m为集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任意一个值，则使得双曲线的离心率大于3的概率是________．[答案]79[解析]由题意知双曲线方程可设为m2x2－y2＝1，从而e＝m2＋13，∵m0，∴m22，故所求概率是79，故填79.8．(2013·广东茂名质检)设双曲线x29－y216＝1的右顶点为A，右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．[答案]3215[解析]c＝5，设过点F平行于一条渐近线的直线方程为y＝43(x－5)，即4x－3y－20＝0，联立直线与双曲线方程，求得yB＝－6430，则S＝12|AF|·|yB|＝12×(5－3)×6430＝3215.9．(2013·北京大兴模拟)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为________．[答案]25[解析]由y＝bax，x＝－p2，解得y＝－bp2a，x＝－p2，由题意得－bp2a＝－1，－p2＝－2，得ba＝12，p＝4，又已知p2＋a＝4，故a＝2，b＝1，c＝a2＋b2＝5.所以双曲线的焦距2c＝25.三、解答题10．(文)已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1→·MF2→＝0；(3)在(2)的条件下，求△F1MF2的面积．[解析](1)∵e＝2，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6，∴双曲线方程为x26－y26＝1.(2)证明：法1：由(1)可知，双曲线中a＝b＝6，∴c＝23，∴F1(－23，0)，F2(23，0)，∴kMF1＝m3＋23，kMF2＝m3－23，kMF1·kMF2＝m29－12＝m2－3，∵点M(3，m)在双曲线上，∴m2＝3，∴kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2，即MF1→·MF2→＝0.法2：∵MF1→＝(－23－3，－m)，MF2→＝(23－3，－m)，∴MF1→·MF2→＝(－23－3)×(23－3)＋m2＝－3＋m2，∵点M在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，∴MF1→·MF2→＝0.(3)∵△F1MF2的底边长|F1F2|＝43，△F1MF2的高h＝|m|＝3，∴S△F1MF2＝6.(理)(2013·铜陵一模)若双曲线E：x2a2－y2＝1(a0)的离心率等于2，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点．(1)求k的取值范围；(2)若|AB|＝63，点C是双曲线上一点，且OC→＝m(OA→＋OB→)，求k，m的值．[解析](1)由ca＝2，a2＝c2－1，得a2＝1，c2＝2，故双曲线E的方程为x2－y2＝1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝kx－1，x2－y2＝1，得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.①∵直线与双曲线右支交于A，B两点，故k1，Δ＝2k2－41－k2×－20，即k1，－2k2，所以1k2.(2)由①得x1＋x2＝2kk2－1，x1x2＝2k2－1，∴|AB|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝21＋k22－k2k2－12＝63，整理得28k4－55k2＋25＝0，∴k2＝57或k2＝54.又1k2，∴k＝52，所以x1＋x2＝45，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2＝8.设C(x3，y3)，由OC→＝m(OA→＋OB→)得，(x3，y3)＝m(x1＋x2，y1＋y2)＝(45m,8m)．∴x3＝45m，y3＝8m.∵点C是双曲线上一点，∴80m2－64m2＝1，得m＝±14.故k＝52，m＝±14.能力拓展提升一、选择题11．(文)(2013·南昌一模)双曲线x2b2－y2a2＝－1(b0，a0)与抛物线y＝18x2有一个公共焦点F，双曲线的过点F且垂直于y轴的弦长为233，则双曲线的离心率等于()A．2B.233C.322D.3[答案]B[解析]双曲线与抛物线x2＝8y的公共焦点F的坐标为(0,2)，由题意知(33，2)在双曲线上，于是a2＋b2＝413b2－4a2＝－1，得a2＝3，b2＝1，故e＝ca＝233，故选B.(理)(2013·安徽皖南八校联考)设F1，F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P，使PF1→·PF2→＝0，且△F1PF2的三边长构成等差数列，则此双曲线的离心率为()A.2B.3C．2D．5[答案]D[解析]设|PF1|＝m，|PF2|＝n，且mn，|F1F2|＝2c，由题可知△F1PF2为直角三角形且F1F2为斜边．由双曲线的几何性质和直角三角形的勾股定理得m－n＝2a，①m2＋n2＝4c2，②2m＝n＋2c，③由①③得m＝2c－2a，n＝2c－4a，代入②得(2c－2a)2＋(2c－4a)2＝4c2，整理得c2－6ac＋5a2＝0，等式两边同时除以a2得e2－6e＋5＝0，解得e＝5或e＝1.因为双曲线的离心率e1，所以e＝5.12．(2013·开封一模)已知A，B是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两个焦点，点C在双曲线上，在△ABC中，∠ACB＝90°，sinAB＝，则双曲线的离心率为()A.233B.355C.52D.5[答案]D[解析]依题意得sinAB＝|BCAC|＝，则|BC|＝2|AC|，又∠ACB＝90°，所以|AB|＝5|AC|，故双曲线的离心率e＝|AB|||AC|－|BC||＝5|AC||AC|＝5，选D.13．(文)若原点O和点F(－2,0)分别为双曲线x2a2－y2＝1(a0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则OP→·FP→的取值范围为()A．[3－23，＋∞)B．[3＋23，＋∞)C．[－74，＋∞)D．[74，＋∞)[答案]B[解析]∵a2＋1＝22＝4，∴a2＝3，∴双曲线方程为x23－y2＝1.设P点坐标为(x，y)，则OP→＝(x，y)，FP→＝(x＋2，y)，∵y2＝x23－1，∴OP→·FP→＝x2＋2x＋y2＝x2＋2x＋x23－1＝43x2＋2x－1＝43(x＋34)2－74.又∵x≥3(右支上任意一点)，∴OP→·FP→≥3＋23.故选B.(理)设F1、F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P满足|PF2|＝|F1F2|，且cos∠PF1F2＝45，则双曲线的渐近线方程为()A．3x±4y＝0B．3x±5y＝0C．4x±3y＝0D．5x±4y＝0[答案]C[解析]在△PF1F2中，由余弦定理得，cos∠PF1F2＝|PF1|2＋|F1F2|2－|PF2|22|PF1|·|F1F2|＝|PF1|24c·|PF1|＝|PF1|4c＝45.所以|PF1|＝165c.又|PF1|－|PF2|＝2a，即165c－2c＝2a，所以c＝53a.代入c2＝a2＋b2得ba＝±43.