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1高二数学暑假作业(函数与导数)一.填空题1.函数f(x)=lg(x2-4x-21)的定义域是___________.2.若函数1,0()1(),03xxxfxx则不等式|f(x)|≥13的解集为__________.3.设3.02131)21(,3log,2logcba,则a、b、c的大小关系是_________.4.若函数f(x)=13-x-1+a是奇函数,则实数a的值为_____________.5.设f(x)是R上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=2x+1,则f(47.5)等于_______.6.已知偶函数()fx在区间0,)单调增,则满足(21)fx<1()3f的x取值范围是.7.已知函数)(xf是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x都有)()1()1(xfxxxf,则)25(f的值是_______.8.函数f(x)=lnx+x+1的零点个数为________________.9.设函数2()()fxgxx,曲线()ygx在点(1,(1))g处的切线方程为21yx,则曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程为.10.若函数3)2(33)(23xaaxxxf既有极大值又有极小值,则a的取值范围为.11.函数axxxf3)(在区间)0,21(上单调递减,则a的取值范围为.12.用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值.设f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为.13.已知函数cxxxxf22123,若对任意2,1x都有2cxf,则c的取值范围是.214.已知f(x)=(3-2a)x-2a+2,x<1,logax,x≥1,是(-∞,+∞)上的增函数,那么a的取值范围是_________.二.解答题15.设直线x=1是函数f(x)的图象的一条对称轴,对于任意x∈R,f(x+2)=-f(x),当-1≤x≤1时,f(x)=x3.(1)证明:f(x)是奇函数;(2)当x∈[3,7]时,求函数f(x)的解析式.16.已知函数y=f(x)是定义在区间[-23,23]上的偶函数,且x∈[0,23]时,f(x)=-x2-x+5.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若矩形ABCD的顶点A,B在函数y=f(x)的图象上,顶点C,D在x轴上,求矩形ABCD面积的最大值.317.已知函数f(x)=x2+|x-a|+1,a∈R.(1)试判断f(x)的奇偶性;(2)若-21≤a≤21,求f(x)的最小值.18.设函数f(x)=-x(x-a)2(xR),其中aR.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)当a≠0时,求函数f(x)的极大值和极小值.419.已知1x是函数32()3(1)1fxmxmxnx的一个极值点,其中mn,R,且0m.(1)求m与n的关系式;(2)求()fx的单调区间;(3)当11x,时,函数()yfx的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m,求m的取值范围.20.已知函数)(xf=xaxln2在区间]2,1(内是增函数,xaxxg)(在区间(0,1)内是减函数。(1)求)(xf、)(xg的表达式;(2)求证:当0x时,方程32)()(2xxxgxf有唯一解。(3)当1b时,若)(xf≥212xbx在]1,0(x内恒成立,求b的取值范围。5高二数学暑假作业(函数与导数)参考答案一、填空题1.(-∞,-3)∪(7,+∞).2.[-3,1].3.b<a<c.4.12.5.-2.6.(13,23).7.0.8.1.9.4x-y=0.10.2a或1a.11.a≥34.12.6.13.(-∞,-1)∪(2,+∞).14.(1,54].二.解答题15.(1)证明∵x=1是f(x)的图象的一条对称轴,∴f(x+2)=f(-x).又∵f(x+2)=-f(x),∴f(x)=-f(x+2)=-f(-x),即f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函数.(2)解∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),∴T=4.若x∈[3,5],则(x-4)∈[-1,1],∴f(x-4)=(x-4.)3又∵f(x-4)=f(x),∴f(x)=(x-4)3,x∈[3,5].若x∈(5,7],则(x-4)∈(1,3],f(x-4)=f(x).由x=1是f(x)的图象的一条对称轴可知f[2-(x-4)]=f(x-4)且2-(x-4)=(6-x)∈[-1,1],故f(x)=f(x-4)=f(6-x)=(6-x)3=-(x-6)3.综上可知f(x)=.75,)6(,53,)4(33xxxx16.解(1)当x∈[-23,0]时,-x∈[0,23].∴f(-x)=-(-x)2-(-x)+5=-x2+x+5.又∵f(x)是偶函数,∴f(x)=f(-x)=-x2+x+5.∴f(x)=.23,0,50,23,522xxxxxx(2)由题意,不妨设A点在第一象限,坐标为(t,-t2-t+5),其中t∈(0,23].由图象对称性可知B点坐标为(-t,-t2-t+5).则S(t)=S矩形ABCD=2t(-t2-t+5)=-2t3-2t2+10t.)(ts=-6t2-4t+10.由)(ts=0,得t1=-35(舍去),t2=1.当0t1时,)(ts0;t1时,)(ts0.∴S(t)在(0,1]上单调递增,在[1,23]上单调递减.∴当t=1时,矩形ABCD的面积取得极大值6,且此极大值也是S(t)在t∈(0,23]上的最大值,从而当t=1时,矩形ABCD的面积取得最大值6.17.解(1)当a=0时,函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x),此时,f(x)为偶函数.当a≠0时,f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,f(a)≠f(-a),f(a)≠-f(-a),此时,f(x)为非奇非偶函数.(2)当x≤a时,f(x)=x2-x+a+1=(x-21)2+a+43,6∵a≤21,故函数f(x)在(-∞,a]上单调递减,从而函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为f(a)=a2+1.当x≥a时,函数f(x)=x2+x-a+1=(x+21)2-a+43,∵a≥-21,故函数f(x)在[a,+∞)上单调递增,从而函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为f(a)=a2+1.综上得,当-21≤a≤21时,函数f(x)的最小值为a2+1.18.解(1)当a=1时,f(x)=-x(x-1)2=-x3+2x2-x,f(2)=-2,)(xf=-3x2+4x-1,)2(f=-12+8-1=-5,∴当a=1时,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为5x+y-8=0。(2)f(x)=-x(x-a)2=-x3+2ax2-a2x,)(xf=-3x2+4ax-a2=-(3x-a)(x-a),令)(xf=0,解得x=3a或x=a.由于a≠0,以下分两种情况讨论.①若a0,当x变化时,)(xf的正负如下表:x(-∞,3a)3a(3a,a)a(a,+∞))(xf-0+0-f(x)↘-3274a↗0↘因此,函数f(x)在x=3a处取得极小值f(3a),且f(3a)=-3274a;函数f(x)在x=a处取得极大值f(a),且f(a)=0.②若a0,当x变化时,)(xf的正负如下表:x(-∞,a)a(a,3a)3a(3a,+∞))(xf-0+0-f(x)↘0↗-3274a↘因此,函数f(x)在x=a处取得极小值f(a),且f(a)=0;7函数f(x)在x=3a处取得极大值f(3a),且f(3a)=-3274a.19.解(Ⅰ)2()36(1)fxmxmxn.因为1x是函数()fx的一个极值点,所以(1)0f,即36(1)0mmn,所以36nm.(Ⅱ)由(I)知,2()36(1)36fxmxmxm=23(1)1mxxm,当0m时,有211m,当x变化时,()fx与()fx的变化如下表:x2,1m21m21,1m11,()fx00000()fx单调递减极小值单调递增极大值单调递减故有上表知,当0m时,()fx在2,1m单调递减,在2(1,1)m单调递增,在(1,)上单调递减.(Ⅲ)由已知得()3fxm在11x,时恒成立,即22(1)20mxmx在11x,时恒成立.又0m,所以222(1)0xmxmm①在11x,时恒成立.设212()2(1)gxxxmm,其函数开口向上,由题意知①式在11x,时恒成立,所以22(1)0120(1)010gmmg,,,,解之得43m又0m.所以403m.即m的取值范围为403,.820.【解析】(1)xaxxf2)(',依题意]2,1(,0)('xxf,即]2,1(,22xxa∵上式恒成立,∴2a£,①又xaxg21)(',依题意)1,0(,0)('xxg,即)1,0(,2xxa,∵上式恒成立,∴2a³,②由①②得2a=,∴xxxgxxxf2)(,ln2)(2.(2)由(1)可知,方程32)()(2xxxgxf,即03ln22xxx,设3ln22)(xxxxh,则xxxh211)('.令0)('xh,并由0x,得02xx,解得1x。令'()0hx,并由0x,解得10x列表分析:x(0,1)1(1,+))('xh-0+)(xh递减极小值0递增知)(xh在1x处取最小值0,当0x且x≠1时,.0)(xh∴0)(xh在(0,+)上只有一个解.即当0x时,方程32)()(2xxxgxf有唯一解.(3)设2212ln2)(xbxxxx,则)].1()1[(2)('3xbxxx∵]1,0(x,1b∴0)('x∴)(x在]1,0(上为减函数,∴.022)1()(minbx又1b,∴11b为所求范围.
本文标题:走进高三数学暑假作业(函数与导数)
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