逼近与拟合

§1函数逼近的基本概念三函数逼近与曲线拟合一、函数逼近与函数空间.近已知复杂函数实际需要用简单函数逼.)()(),(),(:下达到最小的误差在某种度量意义与使中找一个函数算的函数类另一类较简单的便于计要求在中给定的函数对于函数类xfxpxpABxfA函数逼近问题.的一些基本概念下面介绍代数和分析中为此,].,[],,[],[,baCbaCxRpnnR，如：空间}.,,{span1nxxS.,,0)1.1(,.,,1.10,,,,,,1111111线性无关线性相关定义1nnnnnnnxxxxxxPSxxPS立，则称成只对若否则则称）（，使得如果存在不全为零的数上的线性空间，元素是数域设集合.},,,1span{nnxxH],,[,R.vsbaCn无限维空间有限维空间.,|)()(|),(,0],,[)()1(bxaxpxfxpbaCxf对于一切使得多项式那么如果维尔斯特拉斯定理上一致成立；，在使得其中伯恩斯坦多项式给出一种构造性证明：伯恩斯坦]1,0[)(),(lim,)1()((1.3)),(),()1912(0xfxfBxxknxPxPnkfxfBnnknkknkkn).(),(lim]1,0[)()()(xfxfBCxfmmnnm，则若.1)1()(;0)(00nknkknkkkxxknxPxP其他性质：,)()(max)(),(]1,0[,)(0100nkkxnkknxPxfxPnkfxfBxxf，则若.),(是稳定的故xfBn.)(,)(0收敛性不保证稳定性和故拉格朗日插值无界而xLxlnnkk.],[,,.)(*)(},,,{span)(*],,[)(:00线性无关其中在某种度量意义下最小使得误差求对函数逼近问题baCxxfxbaCxfnn二、范数与赋范线性空间)(.,||,||||||(3))(;R||,||(2))(;0||||,0,0||||(1)||||三角不等式齐次性正定性时当且仅当，满足条件实数如果存在唯一，，是实数域上的线性空间设SyxyxyxxxxxxSxS定义2.||||||||XSS，记为一起称为与，上的为线性空间则称线性空间赋范范数三种常用范数：，有上的向量例如，对),,(1TnnxxxR.2d)(||||,1d|)(||||||)(|max||||)(],[21221范数称为，范数称为，范数，称为，：，可定义三种常用范数上的类似地，对bababxaxxffxxffxffxfbaC范数或最大范数，称为，||max||||1inixx,1||||||11范数称为，niixx.2||||21122范数称为，niixx三、内积与内积空间.0),(0,0),((4);,)()(),((3);R),()((2);,),()((1)),(,)CR(KuuuuuXu,v,wv,wu,wwvuu,vu,vXu,vuvu,vvuKXvuX时，当且仅当，并满足条件：为中一个数与之对应，记有，上的线性空间，对或是数域设定义3.,),(:11nnnyxyxyxyx定义内积及中向量R..),(内积空间内积为称定义了内积的线性空间的与上的为则称vuXvu).(),(RK)(),(u,vuvu,vuv时的共轭，当为.(1.6)).,)(,(|),(|,,2不等式称为有为一个内积空间，对设SchwarzCauchyvvuuvuXvuX2定理.,,,),(),(),(),(),(),(),(),(),(,,,,2121222211121121无关线性非奇异的充要条件是矩阵，则称为矩阵为一个内积空间，设nnnnnnnnuuuGGramuuuuuuuuuuuuuuuuuuGXuuuX定理3只有零解。方程组为系数矩阵的齐次线性以非奇异：.,,1,0),(),()111nkuuuuGGjnjkjknjjj证明.,,1,0),(0),(0)21111nkuuuuuknjjjnjjjnjjjnjjj；反证法线性无关非奇异)(,,,21nuuuG.反之亦然.,(1.10)),(||||,,不等式立得而三角不等式由正定性和齐次性易证它满足范数定义的，记即对范数上可以由内积导出一种在内积空间SchwarzCauchyuuuXuX.CR的内积和范数与考察nn例1，则定义设nTnTnyyyxxxR),,(,),,(11则定义为权系数若给定,),,1(0niininiiiixxyxyx11/2122.||||),(；范数内积niniiiiiixxyxyx11/2122.||||),(；范数内积niiiinyxyxyx1.),(C,，则定义加权内积若.],[)(0)(],[,0d)()(),(],[(2);,2,1,0,d)((1),],[)(权函数定义4上的为就称；上则在若上的非负连续函数对于存在如果满足条件上的非负函数是区间设baxxgbaxxxgxgbakxxxbaxbabak无限区间可以有限或定义内积则可上的权函数为设,],[)(],,[)(),(baxbaCxgxf例2.d)()(||)(||2/122baxxfxxf.d)()()(),(xxgxfxgfba四个性质，并导出范数容易验证内积定义中的.d)()(),(,1baxxgxfgf.d)(||)(||2/122baxxfxf),(),(),(),(),(),(),(),(),(),,(1011101010000nnnnnnnGG0.)det(,,30Gn线性无关，根据定理矩阵为则设GrambaCn],,[,,0§2正交多项式一、正交函数族与正交多项式.],[)()((2.1)0d)()()(),(,],[)(],,[)(),(带权ρ(x)正交定义5上在与则称，且上的权函数为若baxgxfxxgxfxgfbaxbaCxgxfba.,1,.],[)}({(2.2)),2,1,0,(,,,,0))(),((,),(,),(),(],[10标准正交函数族数族带权ρ(x)的正交函则称该函数系为时当特别地上为则称函数族且满足给定函数族设在knkkinAbaxkikiAkixxxxxba,],[,,2sin,2cos,sin,cos,1上的正交函数族为例如，三角函数族xxxx.0,)sin,(sin)cos,(cos,2)1,1(其他内积kxkxkxkx.],[)()(.],[)()}({(2.2),)}({,],[)(,0],[)(00交多项式次正上的为权函数的为以称多项式序列上的正交为权函数的为以，则称满足正交性若多项式序列上的权函数为次多项式的上首项系数是设nbaxxpbaxxpxpbaxnabaxpnnnnn定义6:},,,1{,)(],[交多项式序列正交化手续立得正交正利用逐个由上的权函数只要给定nxxxba(2.3).,2,1,),(),()(,0)(100nppppxxxpxpjnjjjjnnn.)(,0),()3(.)(,),(),()()2(.1)()(110项式正交的多与任一次数小于且时，当的线性组合均可表为的首项系数为性质：kxpppjkxpxpxpHxQxpkkjnnnn,,2,1),/(),(),,/(),(0)(1)((2.4),,1,0),()()()(4111011npppppppxpxpxpnxpxpxxpnnnnnnnnnnnnnnn，，，其中）有递推关系（;),()1)((.],[)()}({50内的单重实根个根都是在的则序列上的正交多项式为权函数的为以）设（bannxpbaxxpnn.),(),(,),(),(,0)()(2.4,2,1),()()()(1121111111nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnppppaaapppxpaaaaxpnxpxpxxp，其中，并有二、勒让德多项式.式Legendre多项次称为的正交多项式上带权区间n(2.5)),2,1,0(],)1[(dd!21)(1)(]1,1[2nxxnxPxnnnnn.)!(2)!2(!2)1()12(22nnnnnnannn其首项系数(2.6)),2,1,0(],)1[(dd)!2(!)(~12nxxnnxPnnnn勒让德多项式为的首项系数为:勒让让德多项式性xxxxxnmxxPxPmnmnmnnnmmmnmnmd])1[(dd])1[(dd!!21d)()(.,i)(112211次分部积分做不妨时当证：(2.7).,122,,0d)()(11nmnnmxxPxPnm正交性(1)xxxxxnmxxxxnmnnnmmmnmnnnmmmnmd])1[(dd])1[(dd!!21])1[(dd])1[(dd!!2111211211112112xxxxxnmnmnmnmmmnmmd])1[(dd])1[(dd!!21)1(112222.0])1[(dd!!2)!2()1(11211nmnmnnmmxxnmmxxnnxxPnmnnnnd)1()!(2)!2()1(d)(.ii)(11222112时当ttnnnntxdcos)!2()!2(2/2/122sin.1223)12)(12(2)22)(2(2)!2()!2(2nnnnnnnn(2.8).)()1()(xPxPnnn奇偶性(2).n)1,1()(个互异的实零点内部有在xPn(3)(2.9)),2,1(),(1)(112)(,)(,1)(1110nxPnnxxPnnxPxxPxPnnn递推关系(4)),35(21)(),13(21)(3322xxxPxxP可得.)()()()(111100xPxPxPxxPnnn可设证：).2,,1,0(0njj，.0n),(212),(212),(),(111111nnnnnnnnnnnPaaPnxPPnPPPxP)!2()!(2])!1[(2)!22(122212221nnnnnnnn.12)12(2212122nnnnnnn)]!1(2[])!1[(2)!(2)!2(),(),(21211111nnnnaaPPPxPnnnnnnnnn)(1)(112)(11xPnnxxPnnxPnnn.121)12)(22()1(22nnnnn三、切比雪夫多项式切比雪夫多项式.次称为正交化所得正交多项式，序列权函数为区间为n},,,1{11)(],1,1[2nxxxx.0),cos()(cos(2.10)),2,1,0,11(),arccoscos()(nxTxnxxnxTnn，则若令可表为,34)(,