转化思想在数学解题中的应用

1转化思想在数学解题中的应用谢全苗客观事物在不断地运动变化，事物之间在互相转化。反映在数学上的转化思想就是在处理问题时，把待解决或难解决的问题，通过某种转化，变为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题的解决。波利亚指出：“解题过程就是不断变更题目的过程”。转化思想就是要求我们换一个角度去看，换一种方式去想，换一种语言去讲，换一种观点去处理，以使问题朝着有利于解决方向不断变更，从不同的角度和特征出发，把同一问题用不同的形式在不同的水平上转化出来。转化就如同“翻译”，通过“翻译”，不仅使我们对能解决的问题不再停留在解决的层面上，而且让我们能站得更高、看得更清、想得更好、表叙得更简洁，做到既知道有几种解法，又明白以怎样方向入手去解才是最简。下面举例说明。1换一个角度去看例1若正数a、b满足，则ab的取值范围是__________。（1999年全国高考题）分析本题有多种解法，此题若由直接推出ab的取值范围是走不通的，现在只能换一个角度，用转化的思想，由于a、b是正数，显然成立，当且仅当a=b时取等号。把等式转化为关于ab的不等式，这是关键的一步。解不等式（舍去），所以。即ab的取值范围是[9，。例2如图1，已知梯形ABCD中，|AB|=2|CD|，点E分有向线段AC所成的比为λ，双曲线过C、D、E三点，且以A，B为焦点，当时，求双曲线的离心率e的取值范围。（2000年全国高考试题）分析一看到这个题，不要说当年一些普通考生望题兴叹，就是一些基础不错的考生也没了头绪，这不但是由于它是一个双参数范围问题，而且是在未知双曲线方程的情况下来求离心率e的取值范围，再加上大家期望要用上的已知条件：2，又是大家在日常解题中着实有点感到后怕的“点E分有向线段AC所成的比”。这时，一些思维灵活，能换一个角度去看的学生就有了用武之地：他们首先看到题设中无系无方程，因此，用分而治之的策略，从建立坐标系，确立方程的形式入手：如图1，以AB的垂直平分线为y轴，以AB所在直线为x轴，建立直角坐标系xOy，则CD⊥y轴。因为双曲线过C、D，且以A，B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称，并设双曲线方程为，则离心率。在做好这一基础性工作的前提下，如何由λ的范围来求e的范围就成了解决本题的思维核心，他们看到这个双参数问题中，λ和e既互相制约，又在一个矛盾中统一（统一在一个方程里），这是考查学生在解题某个阶段视哪一个为主元，哪一个为辅元，而在解题另一个阶段，又需要主辅互换，反客为主，真是个考查辩证思维，灵活转化的绝妙压轴题。题虽难，但也正是考生一显身手，展示自己思维能力的好地方，也是与众考生一决高下的分水岭。因此，他们根据λ的范围已知这一条件，进而确立：先视λ为主元，再视e为主元，找出两个参数之间的关系，将问题转化为已知范围，再解不等式，由此求出参数e的范围这样一个整体的思路和思维策略。于是，他们先视λ为主元，找λ的关系式：依题意，记A（－c，0），C（），E（），其中为双曲线的半焦距，h是梯形的高。由定比分点公式得：。但在如何再视e为主元，找出两个参数之间的关系时，又一次体现思维水平的层次性。视角1视点C、E为直线AC与双曲线的交点，这时，虽能把方程代入。这一常规思路虽正确，解题方向也不错，但要用上这一方程不但难，而且繁，在应试的情况下当然应另辟蹊径。思路敏锐的学生在不代前就暂时放弃了。视觉2视点C、E在双曲线上，将C、E的坐标和代入曲线的方程，得①3②由①得：③将③式代入②式整理得：。由题设。所求双曲线的离心率e的取值范围是视觉3视AC、AE为点C、E到焦点A的距离，由焦半径公式得：而AC、AE同号，从而所以由题设所以双曲线的离心率e的取值范围是这里同是C、E二点，但由于解题转化思想的运用，从不同的视角出发，使解题的切入点和解题的方向各不相同，对同一问题解答所用的知识、方法也不同。其中视角二下的方法比较简单，而视角三下的方法，运用焦半径公式来解，在简捷中更显得灵活，真是：“横看成岭侧成峰，远近高低无一同”。2换一种方式去想例3试求常数m的范围，使曲线的所有弦都不能被直线垂直平分。4分析本题看上去并不难，就两句话，但真做起来却不容易，难在习惯的思维方式难以直接将“所有弦都不能被直线垂直平分”的题意转化为数学关系式。因此，解决本题的关键是换一种方式去想，这里从正面思考遇到困难，应从反面去探索。“不能”的反面是“能”，被直线垂直平分的弦的两端点关于此直线对称，于是问题转化为“抛物线上存在两点关于直线对称，求m的取值范围，”再求出m取值集的补集即为原问题的解。解设抛物线上两点关于直线对称，于是有：消去得：因为存在使上式恒成立，所以即恒成立，因为恒成立，所以，所以时，抛物线上存在两点关于直线对称。所以当的所有弦都不能被直线垂直平分例4已知圆C：和两个定点A（－1，0），B（1，0），点P为圆C上的动点，过点P的圆C的切线为l，点A关于l的对称点为A”，求|A”B|的最大值。分析本题一般都是按常规方式去思考，即采用纯解析法：首先求出点A”的轨迹方程，再利用两点间距离公式去求|A”B|的表达式（要运用点A”的轨迹方程将二元函数的最值问题转化为一元函数的最值问题），进而求出|A”B|的最大值。这里所用的纯解析法虽然思路很直接，但求出点A”的轨迹方程是一个难点，遗撼的是这个难点既很难突破，又运算量大，过程繁琐。若能换一种方式去想，看到平面向量的几何计算灵活方便，运用平面向量的运算法则合理安排运算，使问题的解决变得简洁。5解如图2，设AA”与直线l交于点Q，连结OP，OQ，由O，Q分别为AB，AA”的中点，得，且。又l，OP⊥l，故OP//AA”。设，，由题意，得，即因为m0，所以当m=1时，所以此时，点P的坐标为（0，±2），切线方程为，点A”的坐标为（－1，±4）63换一种观点去处理例5已知锐角α，β，满足，求证：。分析对于本题求证，我们总是用纯三角观点来处理，力图用降次，和积互化等三角变换去实现问题解决，但却常常不是较繁，就是失去解题的方向，如果我们能换一种观点去处理，则会让整个证题过程别开生面。这里是用方程观点，视已知式为方程来处理。解将已知等式视为关于的一元二次方程，变形得：即因为，所以所以因为4换一种语言去表述例6对任意函数f(x)，，可按图3构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据，经数列发生器输出；②若，则数列发生器结束工作；若，则将反馈回输入端，再输出，并依此规律继续下去。现定义（1）若输入，则由数列发生器产生数列，请写出的所有项；（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据的值；（3）若输入时，产生的无穷数列满足对任意正整数n均有；求的取值范围。7分析此题属于富有新意，综合性、抽象性较强的题目。由于其表述确是陌生，不易理解，由题意难以直接转化出数学关系式，因此，需要换一种语言，将题意条件转化为数学语言，即将其表述的文意转化为数学语言，这是解题的关键，这就要求我们慎读题意，把握主脉，体会数学转换。解（1）因为f(x)的定义域所以数列只有三项，（2）因为，所以x=1或x=2即故当（3）解不等式，得x－1或1x2要使对于函数若；若。8依次类推可得数列的所有项均满足综上可得例7记函数f(x)的定义域为D，若存在，使成立，则称以（）为坐标的点是函数f(x)图象上的“不动点”。若函数的图象上有且仅有两个相异的“不动点”。试求实数a的取值范围。分析这是一类新概念题，其语言表述常常为我们所不熟悉，不习惯，因此，需要换一种语言去说，才能弄清这个新概念的意义，找到思维的起点，本题的关键是将两个相异的“不动点”的横坐标转化为一元二次方程的两根，进而用已有的知识去构造不等式来解决所求的范围。解设P（），Q（）（）是函数的图象上的两个相异的“不动点”，于是有。所以的两不等实根，且，即方程＋1=0有两个相异的实根且不等于－a，则。综上所述，转化就是从不同的角度、方式、观点和特征出发，灵活地把问题用不同的形式在不同的水平上转化出来，而且这种转化在实际解题中要多次使用，这种转化的层次性、多样性和重复性就影响到转化的等价性。若是等价转化，则所得的解就是原问题的解，数学中之所以特别重视充要条件，就是因为利用它便于等价转化；若是非等价转化，这要视情况而定，如不等式在用于证明不等式时用的往往是推出特性，而用于解不等式，则要求同解变形，只有这样，才能使转化在规范、灵活、简洁的前提下保证转化的有效性，提高解题的正确性。