轴向荷载对结构自振频率的影响(2014年12期)

轴向荷载对结构自振频率的影响胡志强1，高庆飞2，王瑞3，谢理伟4，张巍5(1.中交一公局第四工程有限公司，530031；2.哈尔滨工业大学交通科学与工程学院，哈尔滨，150090；3.西安科技大学高新学院建筑与土木工程学院，西安，710109；4.河南省交通规划勘察设计院有限责任公司，郑州，450052；5.黑龙江省龙交工程检测加固有限公司，哈尔滨，150090)【摘要】针对简支梁、固结铰支梁与悬臂梁等常见结构受轴向荷载的作用，通过理论推导给出了其频率方程；但由于其复杂性无法获得解析解，因此，借助数值模拟方法，得到了一阶自振频率受轴向荷载影响的经验公式，以便于工程应用。轴向受压时，结构刚度减小，对应自振频率减小；反之则增大，且基本呈线性变化。随着振型阶次的增大，轴向荷载对其自振频率的影响程度逐渐减小；另外，随着轴向荷载的增大，其对自振频率的影响程度逐渐增大。【关键词】简支梁；固结铰支梁；悬臂梁；轴向荷载；自振频率；经验公式【中图分类号】TU378.2【文献标识码】B【文章编号】结构自振频率，作为最基本的动力特性，是所有动力分析的基础。对于简支梁、悬臂梁等简单结构的自振频率，早已经获得其解析表达式[1]，甚至给出了连续梁桥等更为复杂结构的自振频率估算公式[2-3]。但在实际结构中，其往往会有外荷载作用，单独的横向荷载对自振频率基本没有影响，但轴向荷载的影响是不可忽略的。大多数研究成果仅给出简支梁在轴向荷载作用下的自振频率的计算公式[4]，而对于常见的固结铰支梁以及悬臂梁等结构，则并未作过多研究。为此，本文拟分别从理论推导与数值模拟角度对此进行研究，最终给出便于工程应用的自振频率估算的经验公式。1理论推导分别选择简支梁、固结铰支梁、悬臂梁，推导其在轴向荷载作用下的频率方程。1.1简支梁简支梁在轴向荷载作用下的示意图如图1所示。其中，假设该简支梁匀质且等截面，则刚度EI与单位长度质量m均为常数，并假设轴向荷载N为常数。图1简支梁轴向荷载示意图根据结构动力学知识，其固有振动方程为42420yyEINmyxx(1)运用分离常数法，令y(x,t)=φ(x)q(t)，代入式(1)可得4242d()d()()()()()0ddφxφxEIqtNqtmφxqtxx(2)那么，则必然有4242d()d()()()()ddφxφxqtEINmφxCqtxx(3)由此可得两个独立方程，为242242()()0d()d()()0ddqtωqtφxφxEINmωφxxx(4)其中，ω2=C/m，而C为常数。引入参数α与g，即242ωmNαgEIEI(5)则式(4)的第二式可变换为422442d()d()()0ddφxφxgαφxxx(6)经验表明，可令其振型φ(x)=Berx，则式(6)可化简为42240rgrα(7)求解上式，得其四个根为1,23,4irδrε(8)其中，中间参数δ和ε分别为4242444242ggggδαεα(9)则振型函数可表示为1234()sincossinhcoshφxDδxDδxDεxDεx(10)式中的常数Di(i=1,2,3,4)由边界条件来确定。对于简支梁，其边界条件为支点处挠度与弯矩均为零，即(0)0(0)0()0()0φφφLφL(11)将式(10)代入式(11)，并化简方程可得频率方程为2222sinsinhΔsinsinhsinsinh()0δLεLδδLεεLδLεLεδ(12)即sinδL=0，那么第n阶自振频率为2222cr211nnnπEINNωωLmEIπnNnL(13)式中，ωn*为无轴向荷载作用时简支梁的第n阶自振频率，而Ncr为两端铰支压杆的欧拉临界荷载。1.2固结铰支梁一端固结一端铰支梁在轴向荷载作用下的示意图如图2所示，其边界条件为固定端挠度、转角为零，铰支端挠度、弯矩为零，即(0)0(0)0()0()0φφφLφL(14)图2固结铰支梁轴向荷载示意图将式(10)代入式(14)，并化简方程可得频率方程为222322sinsinhcoscoshΔsinsinhcoscosh()cossinh()sincosh0δδLεLδLεLεδδLδεεLδδLεεLδδεδLεLδεδLεLε(15)进一步可化简为cossinhsincosh0δδLεLεδLεL(16)当N=0时，δ=ε=α，其频率方程为cossinhsincosh0αLαLαLαL(17)与文献[4]所给无轴向荷载时一端固结一端铰支梁的频率方程完全相同，再次证明了推导的正确性。1.3悬臂梁悬臂梁在轴向荷载作用下的示意图如图3所示，其边界条件为固定端挠度、转角为零，自由端弯矩、剪力为零，即(0)0(0)0()0()0φφφLφL(18)图3悬臂梁轴向荷载示意图将式(10)代入式(18)，并化简方程可得频率方程为2223233442222sinsinhcoscoshΔcoscoshsinsinh[()()sinsinh2coscosh]0δδLεδεLδδLεεLδδLεδεLδδLεεLδδεδεδεδLεLδεδLεL(19)进一步可化简为442222()()sinsinh2coscosh0δεδεδεδLεLδεδLεL(20)当N=0时，δ=ε=α，其频率方程为1coscosh0αLαL(21)与文献[4]所给无轴向荷载时一端固结一端铰支梁的频率方程完全相同，再次证明了推导的正确性。综上所述，由于简支梁的弯曲振型与屈曲振型一致，因此其自振频率具有解析解；而对于一端固结一端铰支梁的弯曲振型与屈曲振型差别较大，则轴向荷载作用下其对应的自振频率难以获得解析解，只能得到频率方程。2数值模拟除了简支梁以外，其他结构在轴向荷载作用下的自振频率解析解的获得都较为困难。因此，借助大型通用有限元程序ANSYS[5]，研究轴向荷载对常见简单结构自振频率的影响规律，并运用统计学的知识[6]，给出近似的估算公式。2.1简支梁以某钢梁为例，其截面形状为h×b=30cm×20cm的矩形截面，所用材料的容重为ρ=7800kg/m3，弹性模量为E=2.1×1011Pa，泊松比为0.3,跨径取为6m。引入比例系数ηn，用以表示轴向荷载对其自振频率的影响，即nnnωηω(22)对于简支梁而言，其理论值可根据式(13)获得2cr1nNηnN(23)为了对比试验值与理论值，引入误差()()()100%nlnsnlηηκη(24)选择前6阶竖弯振型，其误差如图4所示。图4简支梁ηn理论值与试验值对比误差κ由图4可以看出，最大误差不超过1%，即数值模拟结果与理论推导基本一致，说明该程序是正确的，可用于分析轴向荷载对自振频率的影响。图5为简支梁轴向荷载对自振频率的影响。图5简支梁轴向荷载对自振频率的影响（受压）由图5可以看出，随着结构自振频率的阶次增加，轴向荷载对自振频率的影响逐渐减小。而一阶自振频率在实际应用中往往又较为重要，其比例系数η1随着轴向荷载的变化基本呈线性变化。那么，可以得到经验公式为7110.2210ηN(25)其中，N为轴向压力，不计符号，单位为N。同理，当N为轴向拉力时，其经验公式为7110.1810ηN(26)2.2固结铰支梁基本信息与简支梁完全相同，只是边界条件有所不同。其数值模拟结果如图6所示。a.轴向受压b.轴向受拉图6固结铰支梁轴向荷载对自振频率的影响由图6可以看出，随着结构自振频率的阶次增加，轴向荷载对自振频率的影响逐渐减小。轴向受压时，刚度减小，自振频率减小；轴向受拉时，刚度增大，自振频率增大。其影响规律与简支梁完全相同，同样，给出针对一阶自振频率的比例系数经验公式，以便于应用。轴向受压7110.1010ηN(27)轴向受拉7110.0910ηN(28)对比式(27)、(28)与式(25)、(26)可以看出，轴向荷载对固结铰支梁一阶自振频率的增大或减小比例相当于简支梁的一半。2.3悬臂梁基本信息与简支梁完全相同，只是边界条件有所不同。其数值模拟结果如图7所示。a.轴向受压b.轴向受拉图7悬臂梁轴向荷载对自振频率的影响由图7可以看出，当轴向受拉时，其依然基本上呈线性变化，与前两种结构的变化规律一致；但是，当轴向受压且其压力大于8.0×106N时，比例系数变为0，这可能是由于其外荷载超出临界荷载使结构发生了失稳。而在发生失稳前，其比例系数同样随着荷载的增大或减小基本呈线性变化趋势。同样，给出针对一阶频率的比例系数经验公式轴向受压7111.2510ηN(29)轴向受拉7110.5210ηN(30)综上所述，针对各种常见结构，给出了轴向荷载（包括受压与受拉）对一阶自振频率影响的比例系数的经验公式，以便于工程应用。3结语针对简支梁、固结铰支梁与悬臂梁等常见结构受轴向荷载的作用，通过理论推导给出了其频率方程；但由于其复杂性无法获得解析解，因此，借助数值模拟方法，得到了一阶自振频率受轴向荷载影响的经验公式，以便于工程应用。(1)轴向受压时，结构刚度减小，对应自振频率减小；轴向受拉时，结构刚度增大，对应自振频率增大；且基本呈线性变化。(2)随着振型阶次的增大，轴向荷载对其自振频率的影响程度逐渐减小；另外，随着轴向荷载的增大，其对自振频率的影响程度逐渐增大。(3)对于轴向受拉的情况，可应用本文所给经验公式计算轴向荷载对自振频率的影响；但对于轴向受压情况，应尤其注意外荷载与针对稳定性的临界荷载之间的关系。该问题需进一步研究。参考文献[1]FrybaL,FrýbaL.Vibrationofsolidsandstructuresundermovingloads[M].ThomasTelford,1999.[2]GaoQF,WangZL,LiuY,etal.Modifiedformulaofestimatingfundamentalfrequencyofgirderbridgewithuniformcross-section[C]//AdvancedEngineeringForum.2012,5:177-182.[3]GaoQF,WangZL,GuoBQ.Modifiedformulaofestimatingfundamentalfrequencyofgirderbridgewithvariablecross-section[J].KeyEngineeringMaterials,2013,540:99-106.[4]宋一凡.公路桥梁动力学[M].人民交通出版社,2000.[5]王新敏.ANSYS工程结构数值分析[M].人民交通出版社,2007.[6]何晓群.现代统计分析方法与应用[M].中国人民大学出版社,1998.作者简介：胡志强(1985—)，男，重庆人，本科，助理工程师，从事道路桥梁的设计与施工研究。联系人：姓名：胡志强联系电话：[phone]单位名称：中交一公局第四工程有限公司地址：广西省南宁市江南经开区开源路10号邮编：530031