辽宁省辽宁师大附中2014届高三上学期期中考试数学文试题Word版含答案

v2013-2014学年度上学期高三期中数学(文)试卷命题人:王红校对人：潘巍一选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1.在空间，下列命题正确的是（）A.平行直线的平行投影重合B.平行于同一直线的两个平面平行C.垂直于同一平面的两个平面平行D.垂直于同一平面的两条直线平行2.已知两条直线2axy和01)2(3yax互相平行，则a等于()A．1或-3B．-1或3C．1或3D．-1或-33.直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和上顶点B，该椭圆的离心率为()．A.15B.25C.55D.2554.设ba,是两条直线，,是两个平面，则ba的一个充分条件是（）A．,//,baB．//,,baC．//,,baD．,//,ba5.过抛物线xy42的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（）A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在6.如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面于A，点C是圆上的任意一点，图中有（）对平面与平面垂直A．1B．2C．3D．47.过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为()．A.22B.2C.322D．228.已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝()A.14B.35C.34D.459.已知椭圆x23＋y24＝1的上焦点为F，直线x＋y－1＝0和x＋y＋1＝0与椭圆分别相交于点A，PCBAB和C，D，则AF＋BF＋CF＋DF＝()．A．23B．43C．4D．810.已知椭圆C：x22＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交C于点B，若FA→＝3FB→，则|AF→|＝()．A.2B．2C.3D．311.已知双曲线x2－y23＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则PA1→·PF2→的最小值为()．A．－2B．－8116C．1D．012.棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P1，P2分别是线段AB，BD1(不包括端点)上的动点，且线段P1P2平行于平面A1ADD1，则四面体P1P2AB1的体积的最大值是()A.124B.112C.16D.12二、填空题：(本大题共4小题；每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.)13．若双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点坐标是(0，3)，则实数k的值为________．14．某四棱锥的三视图如图1－3所示，该四棱锥的体积为________．图1－315.已知223＋＝2·23，338＋＝3·38,4415＋＝4·415,…。若8at＋＝8·at（,at均为正实数），类比以上等式，可推测,at的值，则at＝16．给出下列四个命题:①若直线l过抛物线22xy的焦点,且与这条抛物线交于A、B两点,则AB的最小值为2;②双曲线1916:22yxC的离心率为35;③若⊙,02:221xyxC⊙012:222yyxC,则这两圆恰有2条公切线;④若直线06:21yxal与直线0934:2yaxl互相垂直,则.1a其中正确命题的序号是______.(把你认为正确命题的序号都填上)三解答题：(本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤)17（本小题满分10分）(1)求经过点P(－3，27)和Q(－62，－7)的双曲线的标准方程；(2)已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，求动圆圆心M的轨迹方程．18（本小题满分12分）已知实数,xy满足222230xyxy.(Ⅰ）求3xy的取值范围；(II）当实数a为何值时，不等式220xya恒成立？19（本小题满分12分）如图1－4所示，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝23，BC＝CD＝2，∠ACB＝∠ACD＝π3.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若侧棱PC上的点F满足PF＝7FC，求三棱锥P－BDF的体积．20（本小题满分12分）如图,四棱锥ABCDP的底面ABCD为菱形,60ABC,PA底面ABCD,2ABPA,E为PA的中点.(Ⅰ)求证://PC平面EBD;OlxyABF·M(Ⅱ)求三棱锥PADC的体积PADCV;(Ⅲ)在侧棱PC上是否存在一点M,满足PC平面MBD,若存在,求PM的长;若不存在,说明理由.21（本小题满分12分）设椭圆C：)0(12222babyax的左焦点为F，上顶点为A，过点A作垂直于AF的直线交椭圆C于另外一点P，交x轴正半轴于点Q，且PQAP58⑴求椭圆C的离心率；⑵若过A、Q、F三点的圆恰好与直线:350lxy相切，求椭圆C的方程.22（本小题满分12分）如图，已知抛物线:C22(0)ypxp的准线为l,焦点为F.⊙M的圆心在x轴的正半轴上,且与y轴相切．过原点O作倾斜角为3的直线n,交l于点A,交⊙M于另一点B,且2AOOB.（Ⅰ）求⊙M和抛物线C的方程；（Ⅱ）若P为抛物线C上的动点,求PMPF的最小值；（Ⅲ）过l上的动点Q向⊙M作切线,切点为,ST,求证：直线ST恒过一个定点,并求该定点的坐标.高三数学文科期中试卷答案辽师附中王红;一选择题:DADCB;CCCDA;AA二填空题:13)-1；14)315)71；16)2;3三解答题:17(1)设双曲线的标准方程为nx2＋my2＝1(m·n0)，又双曲线经过点P(－3，27)和Q(－62，－7)，所以28m＋9n＝1，49m＋72n＝1，解得m＝125，n＝－175，所以所求的双曲线的标准方程为y225－x275＝1..(2)设动点M(x，y)，设⊙M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|，即动点M到定点A和定直线l：x＝－3的距离相等，所以点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，∴p2＝3，∴p＝6.∴圆心M的轨迹方程是y2＝12x。18（Ⅰ）配方，得圆的标准方程22(1)(3)4xy(1)再令3xyt(2）则直线（2）与圆（1）有公共点(,)xy，所以圆心(1,3)C到直线的距离为13213tdr，解得80t.即3xy的取值范围是[8,0].(II）不等式220xya恒成立22axy恒成立22max()axy，由（Ⅰ）得222(3)216xyxyt，所以16a.19．解：(1)证明：因为BC＝CD，即△BCD为等腰三角形，又∠ACB＝∠ACD，故BD⊥AC.因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD，从而BD与平面PAC内两条相交直线PA，AC都垂直，所以BD⊥平面PAC.(2)三棱锥P－BCD的底面BCD的面积S△BCD＝12BC·CD·sin∠BCD＝12·2·2·sin2π3＝3.由PA⊥底面ABCD，得VP－BCD＝13·S△BCD·PA＝13×3×23＝2.由PF＝7FC，得三棱锥F－BCD的高为18PA，故VF－BCD＝13·S△BCD·18PA＝13×3×18×23＝14，所以VP－BDF＝VP－BCD－VF－BCD＝2－14＝74.20.(Ⅰ)证明:设AC、BD相交于点F,连结EF,底面ABCD为菱形,F为AC的中点,又E为PA的中点,PCEF//又EF平面EBD,PC平面EBD,//PC平面EBD(Ⅱ)解:因为底面ABCD为菱形,60ABC,所以ACD是边长为2正三角形,又因为PA底面ABCD,所以PA为三棱锥ACDP的高,PADCV332224331312PASVACDACDP(Ⅲ)解:因为PA底面ABCD,所以BDPA,又底面ABCD为菱形,BDAC,AACPA,PA平面PAC,AC平面PAC,BD平面PAC,PCBD在PBC内,易求22PCPB,2BC,在平面PBC内,作PCBM,垂足为M,设xPM,则有22)22(48xx,解得22223x连结MD,BDPC,PCBM,BBDBM,BM平面BDM,BD平面BDM,PC平面BDM.所以满足条件的点M存在,此时PM的长为22321、解：⑴设Q（x0，0），由F（-c，0）A（0，b）知),(),,(0bxAQbcFAcbxbcxAQFA2020,0,PEABCDMF设PQAPyxP58),,(11由，得21185,1313bxybc因为点P在椭圆上，所以1)135()138(22222bbacb整理得2b2=3ac，即2(a2－c2)=3ac，22320ee,故椭圆的离心率e=21．⑵由⑴知acacacbacb2121233222，得又；，得，于是F（－21a，0），Q)0,23(a△AQF的外接圆圆心为（21a，0），半径r=21|FQ|=a所以aa2|521|，解得a=2，∴c=1，b=3，所求椭圆方程为13422yx．22.因为1cos602122pOA,即2p,所以抛物线C的方程为24yx.设⊙M的半径为r,则122cos60OBr,所以M的方程为22(2)4xy………4分（Ⅱ）设(,)(0)Pxyx,则(2,)(1,)PMPFxyxy=222322xxyxx所以当0x时,PMPF有最小值为2（Ⅲ）以点Q这圆心,QS为半径作⊙Q,则线段ST即为⊙Q与⊙M的公共弦