运用放缩法证明不等式的若干思考

1运用放缩法证明不等式的若干思考浙江庆元中学陈文元【摘要】新教材IB中介绍的放缩法是证明不等式的一种科学便捷的解题方法。与常规的解题方法比较，它的突出优点就是”科学”与”便捷”.当然，它的关键在于掌握好放和缩的”度”，若能以“四个有利于的原则”进行合理的放缩,那么要掌握它也并非难事，且有事半功倍的功效。【关键词】放缩法数学思想便捷度新教材IB中介绍了不等式的一些证明方法，其中有一种方法叫放缩法，所谓放缩法是指在证明不等式时，根据需要证明不等式的值适当的放大或缩小，使它化繁为简，化难为易，从而达到证明的重要方法。它是利用不等式的传递性，对照所证目标进行合情合理的放大或缩小的过程。用放缩法证明不等式A≤B的基本思路是：找一个(或多个)中间量C作比较，即若能断定A≤C与C≤B同时成立，那么A≤B显然正确。所谓的“放”即把A放大到C，再把C放大到B，反之，所谓的“缩”即由B缩到C，再把C缩到A。放缩法的合理运用，往往能收到事半功倍的效果，有时能令人拍案叫绝；但其缺点也是显而易见，如果使用放缩法证题时没有注意放和缩的“度”，容易造成不能同向传递了，即放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及，所以要熟练地驾驭它是件不容易的事。笔者通过多年的教学实践证明，若能坚持以下“四个有利于的原则”进行合理的放缩，则容易直达解题目标．１、坚持放缩后有利于求出其和的原则．当所证明不等式的其中一边是某一数列的前n项和，但其和不易求出时，则可以对其通项作合理的分析，通过适当的放大或缩小得到一个易于求出其和的新数列，再注意放大或缩小后的数列的前n项和与不等式的另一边相衔接，从而使问题得到解决．例1、已知Nn，求证:分析：若能对数列的}1{n各项作合理的放大，使放大后得到的新数列的nnn2131211112n12前n项的和恰为n2；对数列的各项作合理的缩小，使缩小后得到的新数列的前n项的和恰为112n，则问题自然解决．由于最后结论中都有系数２，故可对通项先作变换kkk21:，再对其分母作适当的缩小和放大即可．证明：∵∴nnnn2112012131211又nkkkkkkkk2,1121221∴nnn123122131211112nnnn2131211112成立例2、若a,b,c,dR+，求证：21caddbdccacbbdbaa分析：本题如果是用异分母通分相加或用综合法、分析法等方法来证明，那无凝是难似登天。但如能仔细分析本题证式的特点，并根据式子的特点进行放缩，那问题就迎刃而解了。证明：记m=caddbdccacbbdbaa∵a,b,c,dR+1dcbadcbacbaddbadccacbabdcbaam2cdddccbabbaam∴1m2即原式成立nkkkkkkkk2,11212213nkkkkkkkk2,112122,1变为作了放大问题反思：这两题是关于自然数的不等式，较常规的解法是选择数学归纳法证明；若用数学归纳法证明本题，其过程会是个“马拉松”式的工程。而上述证法的基本思路是通过放缩后能有利于用“拆项消去法”、“同分母相加”来求出其和。就把无限和复杂的问题转化为有限和简单的问题了，自然比常规常规方法便捷了许多。比如说例1,本来运算复杂的问题,通过把每一项作恰当的放大,把一项拆成了两项之差,再求各.这里关键是对，这样本要计算复杂的式子n131211，就化为计算容易求和的nn123122，这时可以口算了。2、坚持放缩后有利于求出其积的原则．如证明不等式的其中一边是某一数列的前n项乘积，但其积不易求出，则可对各项作适当的放大或缩小，使其积易于求出，并注意和不等式的另一边的对话，往往能使问题得到解决．)(Nn其中例3求证：分析：要证明原不等式成立，只须证明)212654321(nn121)212654321(nnn.故只须对左边作适当的放大，使积等于121n于即可．注意到pq0时11,pqpq恒成立，因此可对其中的一个括号内的各项作如下放大122212:kkkk使其分子都为偶数，分母都为奇数，有利于求出其积．证明：设nnA212654321，122765432nnB122212kkkknk,,3,2,1∴nnA212654321122765432nn=B121212654321nnn412112243221243212nnnnnBAAAA121nA121212654321nnn成立.问题反思：在上述证明中，通过引进Ａ的“对偶式”Ｂ,使其过程更加简捷，把复杂的问题简单化。当然本题也可用数学归纳法加以证明，若用归纳法证明，其复杂的程度可想而知。3、坚持放缩后有利于减少变量的原则若不等式的一边为常数，另一边是含有多个字母的代数式，则可把这个代数式看成是关于这些字母的多元函数，通过对多元函数的合理放缩，逐步减少变量，最终得到那个常数即可．例4已知2,0,:求证9cossinsin1cos1:2222分析：由于不等式的左边可以看成是关于,的函数，故只须“装腔作势”地求出这个二元函数的最小值为９即可．但是因为左边有两个变量，因此可以设法化去一个变量，再借助放缩法就迎刃而解了。证明2222cossinsin1cos1:2sin14sec222cse224seccse5cot4tan2295cot4tan222∴原不等式成立.问题反思：事实上，上述解法的基本思路是先把看成常数，求出关于的函数的最小值，“解决”后，再求关于的函数的最小值即可．4、坚持放缩后有利于取到等号的原则．5用放缩法证明不等式时，最不易把握的是放和缩的度，放得过大，缩得过小都会导致解题失败，当不等式能取到等号时，则每一步的放和缩都不能和等号成立条件相矛盾，即等号成立条件可以看成是进行放缩的“导航仪”例5已知：ABCCBA是,,的三个内角.求证233sinsinsin:CBA分析：显而易见，要令不等式使等号成立的条件为060CBA，故只须对左边进行变形和放大，最终得233到即可．而对CBAsinsinsin的变形常用方法是利用和差化积公式，又注意到左边只含有三项，不利于使用和差化积公式，再注意到等号成立条件是060CBA以及三角形三内角和为180，故可引进一个060sin，化归为证明：060sinsinsinsinCBA32．证明:060sinsinsinsinCBA2cos2sin2BABA260cos260sin200CC2sin2BA260sin20C460cos460sin400CBACBA3260sin4460sin40CBA233sinsinsinCBA成立.问题反思：纵观上述证明过程，在放缩过程中始终注意到等号成立条件，在放大时能使等号成立条件和060CBA相一致时则可大胆地进行，当然也要明确放大的目标是逐步减少变量，即求出左边这个多元函数的最大值，即常32数．在平时的数学活动中，特别是在证明不等式的时候，如果始终坚持科学辩证严谨的数学思想，始终把握好放与缩的“度”，它终会给我们带来“柳暗花明又一村”的。