运用超级画板开展中学数学实验(2007.11.16修改)

第1页共7页1576474283574运用超级画板开展中学数学实验（2007.11.16修改）彭翕成[e-mail]武汉华中师范大学教育信息技术工程研究中心4300791开展中学数学实验的必要性我们知道，实验课在物理、化学、生物等学科中占有十分重要的作用，它既能帮助学习者理解所学内容，掌握其本质，又能培养学习者的观察能力和动手操作能力。可是很少有人提起数学实验，难道数学不需要实验?是不是像有些人所说，靠一支笔、几张稿纸、几本资料书就可以？其实，数学实验从数学诞生起就存在，只是长期以来没有被人们所重视。数学源于直观和实践，无论怎样地变化，数学实验总是学习数学和研究数学的重要方法，它与物理实验、化学实验、生物实验一样，旨在通过实验，验证结果，揭示事物内在的规律，提高解决问题的能力。传统教学中，学生体验到的基本上是“数学成品”，总是从公理出发，沿着定义、公理、定理、推论的道路进行的，很少有机会尝试、实验或探究，找寻各种不同的答案，结果使充满美感和乐趣的数学变成了枯燥无味的公理、定理、公式和习题的堆积。即使偶尔遇到几个开明的数学老师，会指导学生利用纸张、剪刀、小木棍、三角板、量角器等工具进行一些简单的数学实验，但终究由于所用工具的限制，数学实验不可能广泛展开。随着信息时代的到来，计算机技术已经很大程度地改变了我们的学习和生活，使人们学数学和利用数学解决问题的方法发生了显著的变化。计算机最明显的功能就是高速进行大量计算，这使得过去无法求解的问题成为可能，人们可以将所要研究的问题的数学模型转换为让计算机进行运算的形式，由计算机进行计算、推导、甚至证明，得出某种新的结论或新的发现[1]。本文所谓的数学实验，就是利用超级画板这一计算机软件对数学现象或命题进行检验的过程，是让学生通过自己动手操作，进行探究、发现、思考、分析、归纳等思维活动，最后获得概念、理解或解决问题的一种实践过程。数学实验是数学教学的崭新手段，虽然目前很多大学的数学系已经开设了数学实验课程，但在中学进行数学实验的，还不是很多。笔者认为很有必要对中学开展数学实验进行研究。2超级画板简介2.1超级画板开发者的理念自2001年，张景中院士和李传中教授提出“智能教育平台”的思想[2]以后，一些专家就认为这样的平台只能等国外开发出来后，我们来引进，但张景中院士却不这么认为，他说“虽然从美国引进的几何画板，在我国教育信息化进程中起到了积极的作用。“智能教育平台”思想的产生，也部分地受到几何画板的启发。但是，我们不能等待人家的软件根据我们的需求来升级。几何画板已经出来十几年了，版本到了4.0，数学教学中十分需要的立体构图、符号计算和智能推理的功能仍未能实现（笔者注：几何画板的最新版本为4.07，但立体构图、符号计算和智能推理的功能仍没有实现）。借助我们在数学机械化领域的学术优势，自己组织力量，未必不能成功”。[3]当今数学教育的侧重点必须随着计算机在数学中应用的方式而有所改变。一些原来引以自豪的能力，例如很强的符号运算能力可能变得不再那么有价值了，而人们的工作将主要是建立解决问题的模式，进而操纵、指挥计算机工作。这样人们就有可能摆脱机械性的工作细节，而把注意力集中到更有价值的创造性的问题上。我们的数学教学应该顺应这一发展形势，鼓励学生去探索数学问题以及用数学去解决问题，不仅要培养学生的逻辑能力，空间想象能力和运算能力，还要培养数学建模能力、数据处理能力和探究学习能力，加强在“用数学”方面的教育，而超级画板正是为实现这一目标提供了一个非常好的操作平台。2.2超级画板的功能简介动态几何（我国主要使用几何画板）对教育的积极影响，已经成为国际教育界的共识，但数学教育不仅有几何，还有算术，代数和分析；几何也不仅仅是作图看图，还有推理和计算。为了满足数学教育的需求，人们希望动态几何软件能够集成更多的功能，并且希望使用起来更加容易第2页共7页1576474283574和快捷。主要为中学的数学教学和数学实验而设计的动态几何软件——超级画板，对于上面的这些要求都作了考虑并尽可能地予以落实。超级画板的全名是《Z+Z智能教育平台—超级画板》，“Z+Z”是“知识+智能”之意，而“超级”则是从“超级市场”的名称借来的，是说超级画板好比超级市场，让教数学老师和学数学的学生用起来，想要的几乎是应有尽有，好像进了超级市场一样。从软件开发商的角度来讲，功能太齐全，反而不是好事。软件开发商希望是一个软件实现一个功能，这样既容易把软件设计得相当精致，又可以得到较大的利益。而对于大多数软件用户而言，他只需要一些基本功能，却不得不去买好几种软件，既花费钱又得花费时间来学！以Word为例，一般用户对Word的功能使用率都不会超过20％。超级画板功能相当齐全，集成了几何画板（动态几何），PPT（演示文稿），EXCEL（电子表格），Mathmatica（符号运算），VB（算法编程）等多种软件的全部或部分功能，并且不是简单的堆集，而是有机的组合。在此基础上，超级画板还增加了动态代数，逻辑动画，自动推理等功能。超级画板功能强大，完全能够满足中学数学教学和数学实验的需求，而且它的操作方式力求容易简便，体现了人性化，智能化，可视化，动态化和程序化[4，5]。其基本功能可归纳成8个字：“写画测变，编演推算”[6]，这些功能都是在广泛征集了一线教师的意见后，充分考虑到为如何有效进行教学改革而设置的（图1为超级画板结构图）。图13数学实验模式分类按照教学内容和实验手法的不同，数学实验可分为观察实验、模拟实验、验证实验和探索实验[7]。3.1观察实验观察是思维的入口，感性认识的开端，人们认识客观事物总是从观察开始，学习数学也不例外。首先要观察数学现象，形成一些感性认识，再经过分析概括，演绎推理等对这些材料进行加工处理，从而上升到理性认识的高度。很多数学规律要从大量的数学现象中提炼出来，然而传统的教学手段对数学现象的呈现方式显得过于单调和机械，如在黑板上动点不动、变换不变、度量不准、参数静止。观察性实验是利用超级画板动态几何作图功能，在动态的图形演示中，从直观上理解数学概念，并通过观察、分析、归纳出数学性质。譬如在“圆的一般方程”这一内容的学习中，我们用3个滑动条来控制3个参数，调整参数就可以很容易观察出参数对函数图象的影响。如果调整参数F，就发现生成了很多同心圆，这就说明了参数F与圆心位置无关，与圆的半径有关(图2)。通过动态演示，数形关系一目了然，从而培养了学生的观察力，增强学生对抽象数学概念的感性认识。中学中还有很多内容适合作观察性实验，譬如圆锥曲线与其离心率的关系，二次函数与其系数的关系等。第3页共7页1576474283574图23.2验证实验著名数学家牛顿说过:“没有大胆的猜测就没有伟大的发现”。日本数学家小平邦彦认为：“数学中的结论三分之一是证明出来的，三分之一是计算出来的，还有三分之一是猜出来的”。数学中存在着大量的未经证明的猜想，怎样验证这些猜想?在中学阶段，超级画板无疑是最好的验证猜想的平台。验证性实验通常是利用超级画板的度量功能，通过几何图形的动态变化，使人能直观地发现图形中的几何规律，深刻地领会以前在纸上无法观测到的几何原理，获得广泛的数学活动经验。譬如在解析几何中，就经常遇到类似这样的定值问题：“标准形式的有心圆锥曲线上任一弦的斜率和弦中点与其中心连线的斜率（均存在且不为0）之积为一定值。”我们只要设有心圆锥曲线方程为221xymn(0,0)mn，作好图3，测量相关数据后，任意拖动点A和点B，都会发现积为定值；当m，n为一正一负时，图形为双曲线，此结论同样成立。中学中很多命题都可以用超级画板来验证，与数值相关的如圆幂定理，正弦定理，余弦定理等；与定点、定值相关的如三角形三中线交于一点等。图33.3模拟实验有些实验不方便亲自去做，或者是有了改进的新手段，没有必要再按原来的死办法去操作，于是就有了模拟实验。模拟实验作为信息技术和学科实验教学整合的产物，是为了弥补常规实验的不足。第4页共7页1576474283574在1777年出版的《或然性算术实验》一书中，法国数学家蒲丰最早设计了著名的投针实验,并给出了针与平行线相交的概率为2IPa，从而发现可以用概率的方法计算出π的近似值。在当今的实际教学中，如果还采用此方法的话，大量时间花在了单调、重复的投针活动及相关数据的记录和计算中，这是毫无意义的！但若借助于超级画板（图4），就能使原本费时费力的实验过程变得轻而易举。与其它动态几何软件相比，超级画板提供了更多的数学函数，譬如其中的随机函数就使得此处的随机动画变成可能，统计表格功能更是为模拟概率统计方面的实验提供了方便。借助概率方法计算π，学生从中深切体会到了数学方法的神奇与美妙！实践表明，以超级画板为平台的模拟实验，在培养学生的自主、合作、探究及创新能力等方面起到了很好的效果。图43.4探索实验探索性实验的特点是学生在不知道结论的情况下，以教师所给的一系列启发学生动手、动脑的问题为指导，进行实验并探索结论。探索性实验不仅是停留在使学生获得实验的基本操作技能上，更为重要的是学生通过实验得到了科学的思维、方法与技能的培养。在这一点上，传统教学是非常欠缺的。譬如初中教科书上有这么一个经典例题“探索等腰三角形底边上一点到两腰距离的规律”，而很多老师都是直接告诉学生结论，而不是提出问题，鼓励学生去探索。我们完全可以让学生利用超级画板自己来探索此题，作好等腰△ABC和底边上点D向两腰的垂线，并测量垂线段（图5）。拖动点D，使之在线段BC之间时，会发现线段DE和线段DF总是一增一减，那么学生很容易就会想到，一增一减会不会刚好抵消，总和不变呢？拖动点D，使之在线段BC延长线上时，会发现线段DE和线段DF总是同增同减，再联想刚才是线段和不变，现在会不会是线段差不变呢？学生就这样通过自己的探索，发现了结论，创新意识得到了激发，动手能力也得到了增强。以前有些人不大理解为什么超级画板将线段上的点设计成可以拖出去？其实这就如同解方程，先把x的取值范围扩大一些,这样做可能会出现一些意想不到的结果,譬如产生增根；但假如一开始就把x的取值范围控制在某一范围之内,那就有产生丢根的可能。超级画板的这种开放性,给使用者提供了更为广阔的探索空间。第5页共7页1576474283574图54影响与作用通过实验可以将抽象的数学概念变得形象生动，不仅可以加深学生对数学概念和定理的理解，而且能够培养学生分析问题、解决问题的能力和创新意识。更重要的是，通过实验可以提高学生的学习兴趣和学习积极性，使学生从害怕数学到喜欢数学，从学好数学到用好数学。而在这一过程中，计算机水平也会随之提高。4.1有利于培养学生的学习兴趣和创新能力中科院院士姜伯驹教授曾指出：“在教师指导下，探索某些理论或应用的课题，学生的新鲜想法借助数学软件可以迅速实现，在失败与成功中得到真知。这种方式，变被动的灌输为主动的参与，有利于培养学生的独立工作能力和创新精神”。运用超级画板开展数学实验改变学生单一、被动的学习方式，学生不再是一味听教师讲、看教师做，而是自己在计算机上进行实验方案的设计和操作，对实验的事实加以分析并做出结论。在这样的学习氛围中，学生学习的主动性和积极性被充分调动，钻研问题的兴趣被完全激发，学生真正感受到自己是学习的主人，变“要我学”为“我要学”，较好地提高了学习的效率。在超级画板这个平台上，学生不但可以将已学的知识施展开来，甚至还可以对已学的知识加以创新。譬如北大附中广州实验学校的初中生们，利用所学的“旋转、放缩、反射”等知识进行设计的《金色的海鸥》、《蓝色贝克的镶嵌》、《万花筒景象魔幻球》、《能量爆炸》等作品，就受到很多教育专家的高度赞赏[8，9，10]。4.2有利于培养学生解决问题的能力在学习过程中对知识点掌握不够，产生疑惑是很正常的事情。而且有疑惑也是好事，古人云“疑者，觉悟之机也；一番觉悟，一番长进”，只要问问老师，同学，帮忙解决就可以了。但事实并非如此简单，很多同学在学习过程中遇到困难，常由于害羞，不去问人，结果不懂的地方越积越多，特别是数学这样的科目，