逆矩阵的计算

★逆矩阵的概念★矩阵可逆的条件★逆矩阵的求法§3逆阵下页关闭矩阵之间没有定义除法，而数的运算有除法，本节相对于实数中的除法运算，引入逆矩阵的概念。则说方阵A是可逆的，并把方阵B称为A的逆矩阵。逆阵的概念注意：只有方阵才有逆矩阵的概念。由定义即得：当B为A的逆矩阵时，A也是B的逆矩阵。例如,110632421,112212023BA设因为AB=BA=E，所以B是A的逆矩阵，同样A也是B的逆矩阵。定义7对于n阶方阵A，如果有一个n阶方阵B，使AB=BA=E，上页下页返回B=A-1。如果方阵A是可逆的，则A的逆阵一定是唯一的。这是因为：设B、C都是A的逆矩阵，则有B=BE=B（AC）=（BA）C=EC=C，所以A的逆阵是唯一的。A的逆阵记作A-1。即若AB=BA=E，则例如,110632421,112212023BA设因为AB=BA=E，所以B是A的逆阵，即A-1=B上页下页返回定理1若方阵A可逆，则A的行列式不等于0。证A可逆，即有A-1，使AA-1=E，故|A||A-1|=|E|=1，所以|A|≠0。矩阵可逆的条件例如,3275,5273BA设易见AB=BA=E，即A可逆。此时|A|=1≠0。定理1表明，可逆阵的行列式一定不等于零。这个结论反过来也成立。请看下面的定理2。上页下页返回定理2若A的行列式不等于0，则A可逆，且.,1**1的伴随阵为方阵其中AAAAA证由例9知AA*=A*A=|A|E，,)1()1(,0**EAAAAAAA故有因.1,*1AAA有所以上页下页返回当|A|=0时，A称为奇异方阵，否则称为非奇异阵。B=EB=（A-1A）B=A-1（AB）=A-1E=A-1。由定理1和定理2可得：矩阵A是可逆方阵的充分必要条件是|A|≠0。推论若AB=E（或BA=E），则B=A-1。证因为|A||B|=|E|＝1，故|A|≠0，因而A-1存在，于是上页下页返回注：定理2可用来求一些矩阵的逆矩阵。例如,3221A设01||A则故A可逆。,1223*A因为.1223122311||1*1AAA所以需要说明的是：通常利用伴随阵A*来计算A的逆矩阵的方法只限于阶数不超过3的矩阵，否则计算量可能很大。对于阶数高于3的矩阵，以后将介绍用初等变换的方法来求逆矩阵。上页下页返回方阵的逆阵满足下述运算规律：.)(,,).1(111AAAA且也可逆则可逆若.1)(,,0,).2(11AAAA并且也可逆则数可逆若.)(,,,).3(111ABABABBA且也可逆则是同阶可逆方阵若证.)())((11111EAEAABBAABAB.)()(,,).4(11TTTAAAA且也可逆则可逆若证.)()(11EEAAAATTTT上页下页返回其中k为正整数。,0||时当A,)(,10kkAAEA.)(,AAAAA定义有为整数时当,,,0||A上页下页返回.343122321的逆阵AA11=2，A21=6，A31=－4，A12=－3，A22=－6，A32=5，A13=2，A23=2，A33=－2，例9,222563462*A得.111253232311*1AAA所以解经计算可得：|A|=2≠0，知A可逆。求方阵上页下页返回,130231,3512,343122321CBA求矩阵X使满足AXB=C。例10设若A-1，B-1存在，则由A-1左乘AXB=C，又用B-1右乘AXB=C，有A-1AXBB-1=A-1CB-1，即X=A-1CB-1。分析：上页下页返回,2513,1112532323111BA11CBAX于是2513202011解251313023111125323231.41041012上页下页返回矩阵的运算小结一、已定义过的运算：★矩阵与矩阵的加、减法；★矩阵与数的乘积；★矩阵与矩阵的乘积；★方阵的行列式；★逆矩阵；★矩阵的转置。上页下页返回二、不允许出现的“运算”：★矩阵与数的加、减法；★矩阵与矩阵相除；★数除以矩阵。矩阵的运算中矩阵不能出现在“分母”中。这与行列式是根本不同的。因为行列式是“数”，当这个数不等于零时，就可以出现在分母中，因此行列式可以出现在分母中。上页下页返回三、矩阵运算中要注意的地方★以下运算都只有方阵才有：(1).逆矩阵；(2).方幂；(3).矩阵的行列式。★矩阵的乘法通常没有交换律、消去律。★两个非零矩阵相乘的结果可能是零矩阵。★用一个数去乘以矩阵与用一个数去乘以行列即当两个矩阵的乘积为零矩阵时，不能推出其中必有一个为零矩阵。式是不同的。上页下页返回.,400030002的逆矩阵求设AA.,024||可逆故因AA解,1211A又,822A,633A),,3,2,1,(0jijiAij且Ex.4上页下页返回,6000800012*A所以于是*1||1AAA6000800012241.410003100021上页下页返回),0(000000000,2121nnaaaaaaA设由上例可推得.100000010001211naaaA则也可以直接按定义来验证这一结论。上页下页返回.,,4228555013323114,10021121012110111AABBA并求计算设,1010000010000010000010EAB容易计算出解,101EBA即.1011BA于是由推论知Ex.5上页下页返回.,3,23,1010201012BEBAEBABA求阶单位阵是其中满足等式阶方阵又设,2222BABAEBAEBA可得由解),(22AEBAE或Ex.6.)(212AEAEB即上页下页返回12)(2AEAEB1210102010110001000110102010110001000121001010100002040200200020002上页下页返回1001010100202020202001010100202020202.2020202021001010100002040200200020002上页返回设给定一个线性变换：)7(,,,22112222121212121111nnnnnnnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay它的系数矩阵是一个n阶方阵A，上页下页返回,,,2121212222111211nnnnnnnnyyyYxxxXaaaaaaaaaA则线性变换(7)可记为Y=AX.(8)记上页下页返回按克拉默法则，若|A|≠0，则由（7）可解出,12211nniiiiyAyAyAAx即x1,x2,….,xn可用y1,y2,…,yn线性表示为：)9(,,,22112222121212121111nnnnnnnnnnybybybxybybybxybybybx.,1的并且这个表示式是唯一其中jiijAAb上页下页返回从(8)、(10)两式分析变换所对应的方阵A与逆变换所对应的方阵B之间的关系：将(10)代入(8)，可得线性变换(9)称为线性变换(7)式的逆变换。若把(9)的系数矩阵记为B，则(9)也可写成X=BY(10)Y=A(BY)=(AB)Y，可见AB为恒等变换所对应的矩阵，故AB=E。Y=AX.(8)前面已得到上页下页返回即有BA=E。具有这种性质的矩阵A称为是可逆的，而矩阵B称为矩阵A的逆矩阵。用(8)代入(10)，得X=B(AX)=(BA)X于是有AB=BA=E。上页下页返回