选修1-1教案3.3.1函数的单调性与导数

课题：3.3.1函数的单调性教学目的：1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2.掌握利用导数判断函数单调性的方法奎屯王新敞新疆教学重点：利用导数判断函数单调性奎屯王新敞新疆教学难点：利用导数判断函数单调性奎屯王新敞新疆授课类型：新授课奎屯王新敞新疆课时安排：1课时奎屯王新敞新疆教具：多媒体、实物投影仪奎屯王新敞新疆内容分析：以前，我们用定义来判断函数的单调性.对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的增函数.对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的减函数.在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单奎屯王新敞新疆教学过程：一、复习引入：1.常见函数的导数公式：0'C；1)'(nnnxx；xxcos)'(sin；xxsin)'(cos奎屯王新敞新疆xx1)'(ln；exxaalog1)'(log；xxee)'(；aaaxxln)'(2.法则1'''[()()]()()fxgxfxgx．法则2[()()]'()()()'()fxgxfxgxfxgx,[()]'()cfxcfx奎屯王新敞新疆法则3'2()'()()()'()(()0)()()fxfxgxfxgxgxgxgx二、讲解新课：1.函数的导数与函数的单调性的关系：我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数342xxy的图像可以看到：在区间（2，＋∞）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x的增大而增大，即/y0时，函数y=f(x)在区间（2，＋∞）内为增函数；在区间（－∞，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x的增大而减小，即/y0时，函数y=f(x)在区间（－∞，2）内为减函数.定义：一般地，设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y0，那么y=f(x)=x2－4x+3切线的斜率f′(x)(2，+∞)增函数正＞0(－∞，2)减函数负＜0321fx=x2-4x+3xOyBA函数y=f(x)在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/y0，那么函数y=f(x)在为这个区间内的减函数奎屯王新敞新疆2.用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f(x)的导数f′(x).②令f′(x)＞0解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f′(x)＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间.三、讲解范例：例1确定函数f(x)=x2－2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解：f′(x)=(x2－2x+4)′=2x－2.令2x－2＞0，解得x＞1.∴当x∈(1，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.令2x－2＜0，解得x＜1.∴当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数.例2确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解：f′(x)=(2x3－6x2+7)′=6x2－12x令6x2－12x＞0，解得x＞2或x＜0∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.当x∈(2，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2.∴当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数.例3证明函数f(x)=x1在(0，+∞)上是减函数.证法一：(用以前学的方法证)任取两个数x1，x2∈(0，+∞)设x1＜x2.f(x1)－f(x2)=21122111xxxxxx∵x1＞0，x2＞0，∴x1x2＞0∵x1＜x2，∴x2－x1＞0，∴2112xxxx＞0∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)∴f(x)=x1在(0，+∞)上是减函数.证法二：(用导数方法证)∵/()fx=(x1)′=(－1)·x－2=－21x，x＞0，∴x2＞0，∴－21x＜0.∴/()0fx，21fx=x2-2x+4xOy21fx=2x3-6x2+7xOy∴f(x)=21x在(0，+∞)上是减函数.点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些.如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性.例4确定函数()sin(0,2)fxxx的单调减区间例５已知函数y=x+x1，试讨论出此函数的单调区间.解：y′=(x+x1)′=1－1·x－2=222)1)(1(1xxxxx令2)1)(1(xxx＞0.解得x＞1或x＜－1.∴y=x+x1的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞).令2)1)(1(xxx＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1.∴y=x+x1的单调减区间是(－1，0)和(0，1)奎屯王新敞新疆四、课堂练习：1．确定下列函数的单调区间(1)y=x3－9x2+24x(2)y=x－x3(1)解：y′=(x3－9x2+24x)′=3x2－18x+24=3(x－2)(x－4)令3(x－2)(x－4)＞0，解得x＞4或x＜2.∴y=x3－9x2+24x的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)令3(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4.∴y=x3－9x2+24x的单调减区间是(2，4)(2)解：y′=(x－x3)′=1－3x2=－3(x2－31)=－3(x+33)(x－33)令－3(x+33)(x－33)＞0，解得－33＜x＜33.∴y=x－x3的单调增区间是(－33，33).-22-11fx=x+1xxOy令－3(x+33)(x－33)＜0，解得x＞33或x＜－33.∴y=x－x3的单调减区间是(－∞，－33)和(33，+∞)2.讨论二次函数y=ax2+bx+c(a＞0)的单调区间.解：y′=(ax2+bx+c)′=2ax+b,令2ax+b＞0，解得x＞－ab2∴y=ax2+bx+c(a＞0)的单调增区间是(－ab2，+∞)令2ax+b＜0，解得x＜－ab2.∴y=ax2+bx+c(a＞0)的单调减区间是(－∞，－ab2)3.求下列函数的单调区间(1)y=xx2(2)y=92xx(3)y=x+x(1)解：y′=(xx2)′=2222xxxx∵当x≠0时，－22x＜0，∴y′＜0.∴y=xx2的单调减区间是(－∞，0)与(0，+∞)(2)解：y′=(92xx)′222)9(29xxxx222222)9(9)9(9xxxx当x≠±3时，－222)9(9xx＜0，∴y′＜0.∴y=92xx的单调减区间是(－∞，－3)，(－3，3)与(3，+∞).(3)解：y′=(x+x)′12112121xx.当x＞0时x21+1＞0，∴y′＞0.∴y=x+x的单调增区间是(0，+∞)奎屯王新敞新疆五、小结：f(x)在某区间内可导，可以根据/()fx＞0或/()fx＜0求函数的单调区间，或判断函数的单调性，或证明不等式.以及当/()fx=0在某个区间上，那么f(x)在这个区间上是常数函数奎屯王新敞新疆六、课后作业：