选修1-1第三章变化率与导数

第三章变化率与导数§3.1.1变化的快慢与变化率一、课前预习学习目标1.会列举与变化率有关的实际问题。理解变化率是很多实际问题中不可缺少的重要数据，从中感受变化率的意义。2.能结合具体实例计算平均膨胀率、平均速度，理解函数的平均变化率的概率，会求已知函数的平均变化率。要点梳理1．函数平均变化率函数y＝f(x)在点x=x0及其附近有定义，把自变量的变化x－x0称作______改变量，记作____,函数值的变化f(x)－f(x0)称作______的改变量，记作____,函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即______________.2．瞬时速度对一般的函数g＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则函数的平均变化率是ΔyΔx＝fx1fx0x1－x0.而当Δx趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在一点处.二、课内探究※新课探究：1．函数的平均变化率及其求解步骤已知函数y＝f(x)在点x＝x0及其附近有定义，令Δx＝x－x0，Δy＝y－y0＝f(x)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)，则当Δx≠0时，比值fx0＋Δx－fx0Δx＝ΔyΔx叫做函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率．2．瞬时速度及其求解步骤设物体的运动方程为s＝s(t)，如果该物体在时刻t0时的位移为s(t0)，在时刻t0到时刻t0＋Δt这段时间内，物体的位移增量是Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．那么，位移增量Δs与时间增量Δt的比，就是这段时间内物体的平均速度v，即v＝ΔsΔt＝st0＋Δt－st0Δt※典型例题:例1：求函数y＝f(x)＝32x＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．例2：已知s(t)＝12gt2，其中g＝10m/s2.(1)求t从3秒到3.1秒的平均速度；(2)求t从3秒到3.01秒的平均速度；(3)求t在t＝3秒时的瞬时速度．※变式训练:在例1中，分别求函数在x＝1,2,3附近Δx取12时的平均变化率k1，k2，k3，并比较其大小．三、当堂检测1．已知函数y＝f(x)＝2x＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为()A．0.40B．0.41C．0.43D．0.442．质点运动规律s＝t2＋3，则在时间(3,3＋Δt)中，相应的平均速度等于()A．6＋ΔtB．6＋Δt＋9ΔtC．3＋ΔtD．9＋Δt3．对于函数f(x)＝－2x＋1，当x从1变为2时函数值的增加量为________，函数值关于x的平均变化率为______．4．求函数y＝1x当自变量x从x1变为x2时的平均变化率．§3.1.2导数的概念与几何意义(两个课时）一、课前预习学习目标1.知道瞬变化率的含义，知道瞬时变化率就是导数。掌握函数在某一点处的导数定义，并会用导数定义求一些简单函数在某一点处的导数。2.掌握函数在某一点处导数的几何意义，进一步理解导数定义。3.理解导函数概念，弄清楚函数在一点处的导数与导函数的区别与联系。要点梳理1．导数的概念(1)如果函数f(x)在点x0处有改变量(增量)Δx，那么f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率ΔfΔx＝，当Δx→0(但Δx≠0)时，如果ΔfΔx→常数，这个常数就叫做f(x)在x0处的．(2)函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率称为f(x)在x＝x0处的记作或．2．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的______，也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是________．3．导数的物理意义：如果把y＝f(x)看做是物体的运动路程，那么，导数f′(x0)表示________，这就是导数的物理意义。二、课内探究※新课探究：1、函数在一点处的导数求解步骤2、正确理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”三者之间的区别和联系。3、求曲线的切线方程。※典型例题:.),2(2)(.3)():():(13并解释它的实际意义处的导数在求函数的函数单位时间单位、一条水管中流过的例fxxfyxxfysxmy.,5.3)3(4)1(:31)().():():(,2的实际意义试解释它们和的导数分别为处和在假设函数的函数单位是其工作时间单位生产的食品数上班后开始连续工作、一名食品加工厂的人例ffxxxfyxfyhxkgy.)4,2(2,202)2(.))0(,0(.]0,0[25.0,1,2)1(.20,2)(3处的切线在点并画出曲线处的导数在求函数的相应割线并画出过点的平均变化率在区间求分别对、已知函数例xyxxyxfxxxxxyxxxxfy处的切线方程在、求函数例12)(43xxxfy※变式训练:1、求函数y＝22x＋4x在x＝3处的导数．2、过曲线y＝f(x)＝3x上两点P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率．三、当堂检测1．函数y＝2x在x＝1处的导数。2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是§3.2.1常用函数的导数一、课前预习学习目标1.会用导数定义求四个常见函数的导数，能作为公式记住并且会用于求函数的导数。2.记住基本初等函数的求导数公式，并能应用导数公式求一些简单函数的导数。要点梳理1．导函数一般地，如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝xxfxxfx)()(lim0，则是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数．2.几个常见函数的导数f(x)＝cf′(x)＝.f(x)＝xf′(x)＝.f(x)＝2xf′(x)＝.f(x)＝x1f′(x)＝.二、课内探究※新课探究：1、几种常用函数的导数公式推导（1）函数y=f(x)＝c的导数（2）函数y=f(x)＝x的导数（3）函数y=f(x)＝2x的导数（4）函数y=f(x)＝x1的导数※典型例题:.),5(,2)():():(12并解释它的实际意义求的函数单位是时间单位路程、一个运动物体走过的例fttfsstms.)3(;2)2(;1)1(:2)(20xxxxxxxfy在下列各点的导数、求函数例).0(),2(),1()(),(3)(32fffxfxfxxxfy求并利用导数的导函数、求例§3.2.2基本初等函数的导数公式一、课前预习学习目标1.掌握基本初等函数的导数公式，弄清楚公式的基本结构和变化规律，能够简单应用。2.理解导数的意义，会求曲线的切线方程。要点梳理1、基本初等函数的导数公式2、曲线切线的方程例1.已知曲线f(x)＝x1在点（1,1）处切线的斜率和切线方程.※典型例题:例1.求下列函数的导数(1)y＝sin3π4；(2)y＝log27。例2.求曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线方程。例3.曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积※变式训练:1.求导数(1)y＝sin3π4；(2)y＝log272.求曲线y＝sinπ2－x在点A－π3，12处的切线方程三、当堂检测1.求导数(1)y＝x10；(2y＝1x2.2.求曲线f(x)＝2x在点(0,1)处的切线方程f(x)＝cf′(x)＝.f(x)＝nx(n0，n为有理数)f′(x)＝.f(x)＝sinxf′(x)＝.f(x)＝cosxf′(x)＝.f(x)＝xa(a0且不等于1）f′(x)＝.f(x)＝xef′(x)＝.f(x)＝xalog(a0且不等于1,x0）f′(x)＝.f(x)＝lnxf′(x)＝.f(x)＝tanxf′(x)＝.§3.2.3导数的四则运算法则一、课前预习学习目标1.记住两个函数的和、差的导数运算法则，理解导数运算法则是把一个复杂函数求导转化为两个或多个简单函数的求导数问题。2.会运用导数运算法则和求导公式求一些函数的导数。3.能通过运算法则求出导数后解决有关的实际问题。要点梳理（预习教材P68~P69，完成下面的空格，并找出疑惑之处）导数的加减法法则:),()()()(,我们有和是的导数分别和若两个函数一般地xgxfxgxf___________)()(___________)()(xgxfxgxf___________________)()(________________)()(xgxfxgxf______)(:,)(,xkfkxg有时当特别地二、课内探究※新课探究：1、两个函数和差的求导法则的推导。利用导数的定义推导。2、两个函数和差的求导法则的推广。推广到三个或者三个以上函数的和差的求导。※典型例题:例1.求下列函数的导数;2)1(2xyxxyln2）（(2)xxy22；(3)y＝x5－3x3－5x2＋6过点的切线方程、求曲线例xxy123.ln)3(;sin)2(;)1(:32xxyxxyexyx、求下面函数的导数例.sin3,ln)2(,sin)1(:432xxyxxyxxy）（、求下列函数的导数例.cos)2();sin(ln)1(:522xxxyxxxy、求下列函数的导数例§3.3.1导数与函数的单调性一、课前预习学习目标1.结合实例，借助几何直观探索函数的单调性与导数的关系，并能获取一般结论。2.能利用导数研究函数的单调性，会根据导数值的变化规律说出函数值变化快慢的规律。3.会求不超过三次的多项式函数的单调区间。要点梳理（预习教材P79~P81，完成下面的空格，并找出疑惑之处）函数的单调性与其导数正负的关系。在这个区间内是常函数，则函数有区间内单调递减；若恒在这个那么函数如果在这个区间内是递增的那么函数）内，如果在某个区间（)(______)(__,__________;)(________,,xfxfyxfyba二、课内探究※新课探究：1.求函数单调区间的步骤。2.求函数f(x)的单调区间就是解不等式f′(x)0或f′(x)0，将解集与定义域求交集．若函数f(x)在区间(a，b)内单调，解f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立．的递增区间与递减区间、求函数例163632)(123xxxxf例2.求函数axxy3的单调区间．3.已经函数的单调性，求参数的取值范围。例3.已知a＞0，函数axxy3在[1，＋∞)上是单调增函数，求a的取值范围．三、当堂检测1．函数f(x)＝5x2－2x的单调增区间是()A.15，＋∞B.－∞，15C.－15，＋∞D.－∞，－152．函数y＝x＋lnx的单调递增区间为()A．(0，＋∞)B．(－∞，－1)，(1，＋∞)C．(－1,0)D．(－1,1)3.求下列函数的单调性：(1)xxy3；(2)4522xxy。4.已知函数xlnaxy在[1，3]上是单调增函数，求a的取值范围§3.3.2函数的极值一、课前预习学习目标1.结合函数图像，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。2.理解函数极值的概率，会从几何直观理解函数的极值与导数的关系。会求函数的极值，并能确定是极大值还是极小值。3.增强数形结合的思维意识，提高运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力。要点梳理（预习教材P81~P84，完成下面的空格，并找出疑惑之处）1．函数的极大值与极小值(1)已知函数y＝f(x)及其定义域内一点x0，对于存在一个包含x0的开区间的所有点x，如果都有_______________,则称函数f(x)在点x0处取极大值，记住_______________。(2)已知函数y＝f(x)及其定义域内一点x0，对于存在一个包含x0的开区间的所有点x，如果都有_______________