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当前位置:首页 > 商业/管理/HR > 项目/工程管理 > 选修2-2_1.1变化率与导数(第1-3课时)
11.1变化率与导数一相关课标陈述理解平均变化率的概念;了解瞬时速度、瞬时变化率的概念;理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵会求函数在某点的导数或瞬时变化率;理解导数的几何意义。二课程目标分解1.通过问题1,问题的讨论,分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数;2.通过对上诉问题分析得到的表格,理解导数的概念;3.通过例1了解导数概念物理背景,及瞬时速度;4.通过例2加深对导数的几何意义----切线;、5.通过例3给出导函数数的定义三达成目标(评价设计)了解导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数;导数的概念以及导函数数的定义。了解导数的几何意义以及导数与切线斜率的关系。四学情分析、考情分析1.学生是在掌握了函数概念,性质基础上继续学习导函数。并且在物理中学习了瞬时变化率和加速度的知识,为学习导函数打下了基础。通过对导函数的学习可以加深对函数单调性的理解。也为继续研究函数提供了工具。2.导数的实际的意义是指瞬时变化率,几何意义是指曲线在某一点切线的斜率;求导公式和运算法则是利用导数研究函数问题的基础,需熟练掌握;高考中,通常以选择题或填空题的形式考察导数的几何意义,也可以在大题中考察,导数运算每年必考,一般不单独命题考察,而是在应用中考察,仅能为一个考点或工具出现难度不大,但基础性强。五教学重点与难点重点:瞬时速度、瞬时变化率的概念及导数概念的形成,导数及几何意义的理解。难点:在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率,导数及几何意义的理解。六教具:多媒体七教学方法:合作探究、分层推进教学法八教学过程:一、双基回眸科学导入:前面我们学习了函数及几种重要的函数,而且我们学习的很多公式所展示的两个量之间的关系也是函数关系:下面找两个学生写出著名的函数——二次函数的表达式和球的体积公式:二次函数气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是2334)(rrV函数很明确地描述了两个变量之间的因果关系。自变量的变化引起因变量的变化。下面我们来看这种变化的各种特点:同学们,相信大家都玩过气球吧,我们回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内气体的容量的增加,气球的半径增加的越来越慢,从数学角度,如何描述这种现象呢?容量的增加与气球的半径增加这两者的变化的关系和本质是怎样呢?今天,我们就来通过此问题来研究这种变化的特点和规律。二、创设情境合作探究:【首先来探究上面所提出的问题】我们已经提问过了气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是334)(rrV现将半径r表示为体积V的函数,那么343)(VVr【分析】343)(VVr,⑴当V从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dmrr气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(Ldmrr⑵当V从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dmrr气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(Ldmrr可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了.【思考】当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?【再来探究一个问题——高台跳水】在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态?思考计算:5.00t和21t的平均速度v在5.00t这段时间里,)/(05.405.0)0()5.0(smhhv;3在21t这段时间里,)/(2.812)1()2(smhhv【探究】计算运动员在49650t这段时间里的平均速度,并思考以下问题:⑴运动员在这段时间内使静止的吗?⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?【探究过程】如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像,结合图形可知,)0()4965(hh,所以)/(004965)0()4965(mshhv,虽然运动员在49650t这段时间里的平均速度为)/(0ms,但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.【引出平均变化率的概念】一般地,函数f(x)在区间21,xx上的平均变化率为2121()()fxfxxx①本质:如果函数的自变量的“增量”为x,且21xxx,相应的函数值的“增量”为y,21()()yfxfx,则函数()fx从1x到2x的平均变化率为1212()()fxfxyxxx②几何意义:两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的斜率(割线的斜率);③平均变化率反映了在函数在某个区间上平均变化的趋势(变化快慢),或说在某个区间上曲线陡峭的程度;【但我们想要知道的是在某处的瞬时速度】下面继续探索:我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢?4小结:局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。在高台跳水运动中,如果我们知道运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在关系105.69.42ttth,那么我们就会计算任意一段的平均速度v,通过平均速度v来描述其运动状态,但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度,那么如何求运动员的瞬时速度呢?问题:2秒时的瞬时速度是多少?我们现在会算任意一段的平均速度,先来观察一下2秒附近的情况。0t时,在2,2t这段时间内0t时,在t2,2这段时间内1.139.41.139.422222tttttthhv1.139.41.139.422222ttttththv当t0.01时,v13.051;当t0.01时,v13.149;当t0.001时,v13.0951;当t0.001时,v13.1049;当t0.0001时,v13.09951;当t0.0001时,v13.10049;当t0.00001时,v13.099951;当t0.00001时,v13.100049;当t0.000001时,v13.0999951;当t0.000001时,v13.1000049;。。。。。。。。。。。。问题:1你能描述一下你算得的这些数据的变化规律吗?关于这些数据,下面的判断对吗?2.当t趋近于0时,即无论t从小于2的一边,还是t从大于2的一边趋近于2时,平均速度都趋近于一个确定的值-13.1sm/。3.靠近-13.1且比-13.1大的任何一个数都可以是某一段2,2t上的平均速度;4.靠近-13.1且比-13.1小的任何一个数都可以是某一段t2,2上的平均速度;5.-13.1表示在2秒附近,运动员的速度大约是-13.1sm/。分析:2t秒时有一个确定的速度,2秒附近的任何一段上的平均速度都不等于瞬时速度,所以比-13.1大的数作为2秒的瞬时速度不合理,比-13.1小的数作为2秒的瞬时速度也不合理,因此,运动员在2秒时的瞬时速度5是-13.1sm/。小结:局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。【导数的概念】定义:函数()fx在0xx处瞬时变化率是xxfxxfxyxx0000limlim,我们称它为函数xfy在0xx处的导数,记作 或0xf即 0xxyxxfxxfxyxfxx00000limlim=。求导数的步骤:①求函数的增量:y②求平均变化率:xy③取极限,得导数:)(0'xf上述求导方法可简记为:一差、二化、三极限。定义:当0xx时,0xf是一个确定的数,当x变化时,xf是x的函数,我们称它为xf的导函数(简称导数)即xxfxxfyxfx0lim=【小试牛刀】1等于,则若hxfhxfxfh2lim200002点处的导数是在函数3422xxxxf3设4)(axxf,若2)1('f,则a的值()A2B-2C3D-34①已知S=πr2,求rS②已知V=34π3R,求RV③已知y=x2+3x求(1)y;6(2)求y︱x=25在曲线12xy的图像上取一点(1,2),及附近一点为则xyyx,2,12x1xD2xC2x1xB2x1xA【导数的几何意义】函数()yfx在点0x的导数的几何意义就是曲线()yfx在点00(,)pxy处的切线的斜率,也就是说,曲线()yfx在点00(,)pxy处的切线斜率是0()fx,切线的方程为000()()yyfxxx。三、互动达标巩固所学:问题1在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10,求运动员在t=2时的瞬时速度?【分析】我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。如何求运动员的瞬时速度?在t=2之前或之后,任意取一个时刻2+Δt,Δt可以是正值,可以是负值,当Δt趋于0时,平均速度有怎样的变化趋势?【点评】学生可以分组讨论,上台板演,展示计算结果,同时口答:在t=2时刻,Δt趋于0时,平均速度趋于一个确定的值-13.1,即瞬时速度,第一次体会逼近思想;另一方面借助动画多渠道地引导学生观察、分析、比较、归纳,第二次体会逼近思想,为了表述方便,数学中用简洁的符号来表示,即0(2)(2)lim13.1ththt问题2将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热。如果在第xh时,原油温度(单位:C)为801572xxxxf.计算第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义。【分析】瞬时变化率与问题.1瞬时速度本质一样,所以做法一样。【解析】在第2h时和第6h时,原油温度的瞬时变化率就是'(2)f和7'(6)f根据导数定义0(2)()fxfxfxx22(2)7(2)15(27215)3xxxx所以00(2)limlim(3)3xxffxx同理可得:(6)5f在第2h时和第6h时,原油温度的瞬时变化率分别为3和5,说明在第2h附近,原油温度大约以3/Ch的速率下降在第6h附近,原油温度大约以5/Ch的速率上升.【点评】一般地,'0()fx反映了原油温度在时刻0x附近的变化情况.问题.3(1)求函数23xy在1x处的导数.(2)求函数xxxf2)(在1x附近的平均变化率,并求出该点处的导数.【分析】先求)()(00xfxxfyf,再求xy,最后求xyx0lim.【解析】(1)法一定义法(略)法二222211113313(1)|limlimlim3(1)611xxxxxxyxxx(2)xxxxxy32)1()1(2200(1)(1)2(1)limlim(3)3xxyxxfxxx【点评】由此题可体现求导数的步骤及进一步认识xy与xyx0lim的关系和区别,通过这种近似与精确深刻理解导数的本质……为了进一步体现其抽象性及几何意义,同学们完成下列两题:8的几何意义?和说明的值?时,求当和时,求且当。的位移函数为开始运动,在时间从定点巩
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