选修2-2数学第二章推理与证明

第1页共9页第二章推理与证明一、选择题1．图中的三角形称为希尔宾斯基(Sierpinski)三角形．黑色的三角形个数依次构成一个数列，则这个数列的一个通项公式是()．A．an＝3n-1B．an＝3nC．an＝3n－2nD．an＝3n-1＋2n－32．实数的乘法运算与向量的数量积运算类比，不成立的运算律是()．A．a×b＝b×a类比abba＝··B．a×(b×c)＝(a×b)×c类比cbacba)()(＝C．a2＝|a|2类比22＝＝|a|aaaD．acabcba＋＝)(类比cabacba＋＝＋)(3．有三根杆子A，B，C，其中A杆上串有3个穿孔圆盘，尺寸由下到上依次变小，要求按如下规则将圆盘全部移至C杆上：(1)每次只能移动一个圆盘；(2)在每根杆子上始终保持大盘在下小盘在上的次序，则需移动圆盘的次数最少是()．A．6B．7C．8D．94．用反证法证明：“若a，b两数之积为0，则a，b至少有一个为0”，应假设()．A．a，b没有一个为0B．a，b只有一个为0C．a，b至多有一个为0D．a，b两个都为05．如图是选修2－2第二章“推理与证明”的知识结构图(部分)，如果要加入知识点“分析法”，则应该放在图中()．①②③④第2页共9页A．“①”处B．“②”处C．“③”处D．“④”处6．欲证2－3＜6－7，只需证()．A．(2－3)2＜(6－7)2B．(2－6)2＜(3－7)2C．(2＋7)2＜(3＋6)2D．(2－3－6)2＜(－7)27．下列表述正确的是()．①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤8．观察：52－1＝24，72－1＝48，112－1＝120，132－1＝168，…所得的结果都是24的倍数，由此推测可有()．A．其中包含等式：152－1＝224B．一般式是：(2n＋3)2－1＝4(n＋1)(n＋2)C．其中包含等式1012－1＝10200D．24的倍数加1必是某一质数的完全平方9．如果命题p(n)对n＝k成立(n∈N*)，则它对n＝k＋2也成立，若p(n)对n＝2成立，则下列结论正确的是()．A．p(n)对一切正整数n都成立推理与证明推理合情推理演绎推理直接证明证明间接证明数学归纳法①②③④第3页共9页B．p(n)对任何正偶数n都成立C．p(n)对任何正奇数n都成立D．p(n)对所有大于1的正整数n都成立10．如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横纵坐标分别对应数列{an}(n∈N*)的前12项，如下表所示：1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12a1x1y2x2y3x3y4x4y5x5y6x6y按如此规律下去，则a2009＋a2010＋a2011＝()．A．1003B．1005C．1006D．2011二、填空题11．设有三个命题：“①0＜21＜1．②函数xxf21＝log)(是减函数．③当0＜a＜1时，函数xxfalog＝)(是减函数”．当它们构成三段论时，其“小前提”是(填序号)．12．用数学归纳法证明213＝3＋＋9＋3＋121－nn，在验证n＝1时，左边计算所得的值等于．13．设公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8成等差数列．类比以上结论有：设公比不为1的等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，，812TT成等比数列．14．下列表述正确的序号是(正确的序号都填上)．①综合法是由因导果法；②分析法是间接证明法；③反证法是逆推法；④分析法是执果索因法．15．设凸k边形的内角和是f(k)，凸k＋1边形的内角和f(k＋1)，则f(k＋1)－f(k)等于．16．如图，第n行共有n个数，且该行的第一个数和最后一个数都是n，中间任意一个数都等于第n－1行与之相邻的两个数的和，an，1，an，2，…，an，n(n＝1，2，3，…)分别表示第n行的第一个数，第二个数，…，第n个数．则an，2(n≥2且n∈N)的通项公式(第10题)第4页共9页为．………………………………(第16题)三、解答题17．平面的许多性质可以类比到空间，但类比推理所得到的结论不一定正确．(1)已知a，b，c为三条不同的直线，，，为三个不同的平面．判断空间结论的正误，正确的在括号内打“√”，错误的在括号内打“×”．在平面内：在空间中c//ac//bb//a，①c//ac//bb//a，()②//////，()c//acbba，③c//acbba，()④//，()(2)三角形是平面内边数最少的封闭图形，四面体是空间面数最少的封闭图形，三角形的许多性质可以类比空间四面体的性质．比如“若△ABC内切圆半径为r，三边长为a，b，c，则△ABC的面积S＝21r(a＋b＋c)”类比到空间，“若四面体内切球半径为R，四个面的面积为S1，S2，S3，S4，则四面体的体积V＝_______________．”(3)证明(2)所类比的结论．18．(1)求证：AAA2sin2＝tan1＋tan；(2)设21＝2tanA．求证54＝sin　A．第5页共9页19．观察下列两组式子：1＝'x，x'x2＝2)(，233＝x'x)(，344＝x'x)(，…xxcossin)(，xx＝－cossin)(，…(1)判断下列结论的正误：①奇函数的导函数是偶函数；()②偶函数的导函数是奇函数；()③周期函数的导函数也是周期函数．()(2)对y＝sinx求导2010次，结果是什么？(3)设函数f(x)＝x＋sinx，用三段论证明函数f(x)在R上单调递增．20．在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和nS满足nnnaaS121．(1)求a1，a2，a3；(2)由(1)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．第6页共9页第7页共9页参考答案一、选择题1．A解析：黑色的三角形个数依次为1，3，9，27．故选A．2．B解析：因为acba//)·(·，ccba//·)·(，两者不等，故选B．3．B解析：当只有1个圆盘时，从A移到C只需1次；当有2个圆盘时，从A移到C只需3次；当有3个圆盘时，上面两个小的圆盘从A移到B需3次，最大的从A到C为1次，B上两个再到C也为3次，共7次．故选B．4．A解析：“至少有一个”的否定形式为“一个也没有”．故选A．5．C解析：分析法是直接证明方法．故选C．6．C解析：原不等式等价于2＋7＜3＋6，后一不等式两边大于零，若C成立，则它成立．故选C．7．D解析：归纳推理与类比推理都是合情推理．故选D．8．C解析：左边是质数（而不是奇数）的平方减1，右边是24的倍数．而归纳推理可能出错，如24×3＋1＝73，而73不是质数的平方．经检验C成立．9．B解析：当k＝2时，n＝k＋2为偶数，故选B．10．B解析：a1＝x1＝1，a2＝y1＝1，a3＝x2＝－1，a4＝y2＝2a1＋a3＝a5＋a7＝…＝a2009＋a2011＝0，a2＝1，a4＝2，…，a2010＝1005．故选B．第8页共9页二、填空题11．①．解析：大前提是③，结论是②．12．13．解析：在n＝1时，左边1＋3＋9＝13．13．48TT．解析：等差数列相减，等比数列则相除．14．①④．15．．解析：从凸k边形到凸k＋1边形，增加一条边，则增加了一个三角形．16．an，2＝22＋2n－n(n≥2且n∈N)．解析：由图易知a2，2＝2，a3，2＝4，a4，2＝7，a5，2＝11，…a3，2－a2，2＝2，……(1)a4，2－a3，2＝3，……(2)a5，2－a4，2＝4，……(3)…an，2－a(n－1)，2＝n－1，……(n－1)以上n－1个式相加即可得到：an，2－a2，2＝2＋3＋4＋…＋(n－1)＝22－1＋))((nnan，2＝22－1＋))((nn＋2＝22＋2n－n(n≥2且n∈N)．三、解答题17．解：(1)①√；②√；③×；④×；(2)RSSSS)(4321＋＋＋31；(3)证明：设四面体ABCD内切球球心为O，则VABCD＝VO—ABC＋VO—ABD＋VO—BCD＋VO—ACD＝31S1R＋31S2R＋31S3R＋31S4R＝RSSSS)(4321＋＋＋31．第9页共9页18．证明：(1)AAAAAAsincos＋cossin＝tan1＋tan＝AAAAAAA2sin2＝cossin1＝cossincos＋sin22；(2)由(1)知25＝2＋21＝2tan1＋2＝tansin2AAA．所以54＝sinA．19．解：(1)①正确；②正确；③正确；(2)xxcos＝sin)(，x－xsin＝cos)(，xxcos)sin(，xxsin)cos(，可见结果具有周期性，且周期为4．所以第2010次与第2次求导结果相同，等于xsin．(3)证明：在某个区间(a，b)内，如果f'(x)≥0，那么函数在这个区间内单调递增．…………………………………………………………………………………………大前提∵x∈R，f'(x)＝1＋cosx≥0．…………………………………………………………………小前提∴函数f(x)＝x＋sinx在R上单调递增．………………………………………结论20．解：(1)a1＝1，a2＝2－1，a3＝3－2；(2)an＝n－1－n；证明：①当1n时已证；②假设n＝k成立，即1－－＝kkka．那么n＝k＋1时，Sk+1＝Sk＋ak+1＝111＋21kkaa．所以1＋(2－1)＋(3－2)＋…＋(k－1k)＋ak+1＝111＋21kkaa．即1111＋21＝kkkkaaa．解得kkk－a1＋＝1，即n＝k＋1时也成立．由①②知，猜想an＝n－1－n正确．