选修2-3教案2.4正态分布

§2.4正态分布教学目标（1）通过实际问题，借助直观（如实际问题的直方图），了解什么是正态分布曲线和正态分布；（2）认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；（3）会查标准正态分布表，求满足标准正态分布的随机变量X在某一个范围内的概率．教学重点，难点（1）认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；（2）求满足标准正态分布的随机变量X在某一个范围内的概率．教学过程一．问题情境1．复习频率分布直方图、频率分布折线图的意义、作法；回顾曲边梯形的面积()baSfxdx的意义．2．从某中学男生中随机地选出84名，测量其身高，数据如下（单位：cm）：164175170163168161177173165181155178164161174177175168170169174164176181181167178168169159174167171176172174159180154173170171174172171185164172163167168170174172169182167165172171185157174164168173166172161178162172179161160175169169175161155156182182上述数据的分布有怎样的特点？二．学生活动为了研究身高的分布，可以先根据这些数据作出频率分布直方图．第一步对数据分组（取组距4d）；第二步列出频数（或频率）分布表；第三步作出频率分布直方图，如图2-6-2．由图2-6-2可以看出，上述数据的分布呈“中间高，两边底，左、右大致对称”的特点．可以设想，若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率直方图的顶边无限缩小乃至形成一条光滑的曲线，我们将此曲线称为概率密度曲线．再观察此概率密度曲线的特征．三．建构数学1．正态密度曲线：函数22()21(),2xPxexR的图象为正态密度曲线，其中和为参数（0，R）．不同的和对应着不同的正态密度曲线．2．正态密度曲线图象的性质特征：（1）当x时，曲线上升；当x时，曲线下降；当曲线向左右两边无限延伸时，以x轴为渐进线；（2）正态曲线关于直线x对称；（3）越大，正态曲线越扁平；越小，正态曲线越尖陡；（4）在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1．3．正态分布：若X是一个随机变量，对任给区间(,],()abPaxb恰好是正态密度曲线下方和X轴上(,]ab上方所围成的图形的面积，我们就称随机变量X服从参数为和2的正态分布，简记为2~(,)XN．4．正态总体在三个特殊区间内取得的概率值：具体地，如图所示，随机变量X取值（1）落在区间(,)上的概率约为0068.3，即()0.683PX；（2）落在区间(2,2)上的概率约为0095.4，即(22)0.954PX；（3）落在区间(3,3)上的概率约为0099.7，即(33)0.997PX．5．3原则：服从于正态分布2(,)N的随机变量X只取(3,3)之间的值，并简称为3原则．6．标准正态分布：事实上，就是随机变量X的均值，2就是随机变量X的方差，它们分别反映X取值的平均大小和稳定程度．我们将正态分布(0,1)N称为标准正态分布．通过查标准正态分布表（见附表1）可以确定服从标准正态分布的随机变量的有关概率．7．非标准正态分布转化为标准正态分布：非标准正态分布2(,)XN可通过Xz转化为标准正态分布(0,1)zN．四．数学运用1．例题：例1．一台机床生产一种尺寸为10mm的零件，现在从中抽测10个，它们的尺寸分别如下（单位：mm）：10.2，10.1，10，9.8，9.9，10.3，9.7，10，9.9，10.1，如果机床生产零件的尺寸Y服从正态分布，求正态分布的概率密度函数式．解：由题意得1(10.210.1109.89.910.39.7109.910.1)1010，22222221[(10.210)(10.110)(1010)(9.810)(9.910)(10.310)102222(9.710)(1010)(9.910)(10.110)]0.03，即10，20.03．所以Y的概率密度函数为250(10)310(),6xPxexR．例2．若随机变量~(0,1)ZN，查标准正态分布表，求：（1）(1.52)PZ；（2）(1.52)PZ；（3）(0.572.3)Px；（4）(1.49)PZ．解：（1）(1.52)0.9357PZ．（2）(1.52)1(1.52)PZPZ10.93570.0643．（3）(0.572.3)(2.3)(0.57)0.98930.71570.2736PxPZPZ；（4）(1.49)(1.49)PZPZ1(1.49)10.9319PZ0.0681．例3．在某次数学考试中，考生的成绩X服从一个正态分布，即(90,100)XN．试求考试成绩X位于区间(70,110)上的概率是多少？解：法一（将非标准正态分布转化为标准正态分布）：70909011090(70110)()(22)(2)(2)101010XPXPPZPZPZ(2)1(2)2(2)120.977210.95440.954PZPZPZ．法二（3原则）：因为(90,100)XN，所以90,10010．由于正态变量在区间(2,2)内取值的概率是0.954，而该正态分布29021070，290210110，所以考试成绩X位于区间(70,110)上的概率就是0.954．2．练习：课本77P练习第1，2题．五．回顾小结：1．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；2．正态总体在三个特殊区间内取得的概率值；3．求满足标准正态分布的随机变量X在某一个范围内的概率的方法．