选修2-3教案232离散型随机变量的方差和标准差a

§2.3.2离散型随机变量的方差和标准差a教学目标（1）理解随机变量的方差和标准差的含义；（2）会求随机变量的方差和标准差，并能解决一些实际问题．教学重点，难点：理解方差和标准差公式所表示的意义，并能解决一些实际问题．教学过程一．问题情境甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用12,XX表示，12,XX的概率分布如下．1X0123kp0.70.10.10.12X0123kp0.50.30.20二．学生活动如何比较甲、乙两个工人的技术？我们知道，当样本平均值相差不大时，可以利用样本方差考察样本数据与样本平均值的偏离程度．能否用一个类似于样本方差的量来刻画随机变量的波动程度呢？三．建构数学1．一般地，若离散型随机变量X的概率分布如表所示：X1x2x…nxP1p2p…np则2()(())ixEX描述了(1,2,...,)ixin相对于均值的偏离程度，故2221122()()...()nnxpxpxp，（其中120,1,2,...,,...1inpinppp）刻画了随机变量X与其均值的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量X的方差，记为()VX或2．2．方差公式也可用公式221()niiiVXxp计算．3．随机变量X的方差也称为X的概率分布的方差，X的方差()VX的算术平方根称为X的标准差，即()VX．思考：随机变量的方差和样本方差有何区别和联系？四．数学运用1．例题：例1．若随机变量X的分布如表所示：求方差()VX和标准差()VX．X01P1pp解：因为0(1)1ppp，所以22()(0)(1)(1)(1)VXpppppp，()(1)VXpp例2．求第2.5.1节例1中超几何分布(5,10,30)H的方差和标准差．解：第2.5.1节例1中超几何分布如表所示：X012345P258423751807523751855023751380023751700237514223751数学期望53，由公式221()niiiVXxp有22584807585503800700425()01491625()2375123751237512375123751237513VX2047500.9579213759故标准差0.9787．例3．求第2.5.1节例2中的二项分布(10,0.05)B的方差和标准差．解：：0.05p，则该分布如表所示：X012345kp001010(1)Cpp11910(1)Cpp22810(1)Cpp33710(1)Cpp44610(1)Cpp55510(1)CppX678910kp66410(1)Cpp77310(1)Cpp88210(1)Cpp99110(1)Cpp1010010(1)Cpp由第2.5.1节例2知()0.5EX，由221()niiiVXxp得2200102119210100210101000.050.9510.050.95...100.050.950.5CCC0.7250.250.475故标准差0.6892．说明：一般地，由定义可求出超几何分布和二项分布的方差的计算公式：当~(,,)XHnMN时，2()()()(1)nMNMNnVXNN，当~(,)XBnp时，()(1)VXnpp．例4．有甲、乙两名学生，经统计，他们字解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示：甲分数X甲8090100概率0.20.60.2试分析两名学生的答题成绩水平．解：由题设所给分布列数据，求得两人的均值如下：XE甲（）=800.2+900.6+1000.2=90，XE乙（）=800.4+900.2+1000.4=90方差如下：222()(8090)0.2(9090)0.6(10090)0.240VX甲222()(8090)0.4(9090)0.2(10090)0.480VX乙由上面数据可知()(),()()EXEXVXVX乙乙甲甲，这表明，甲、乙两人所得分数的平均分相等，但两人得分的稳定程度不同，甲同学成绩较稳定，乙同学成绩波动大．2．练习：课本701,2P五．回顾小结：1．离散型随机变量的方差和标准差的概念和意义；2．离散型随机变量的方差和标准差的计算方法；3．超几何分布和二项分布的方差和标准差的计算方法．乙分数X乙8090100概率0.40.20.4