递推数列讲座

数列是高中的主干知识，是历年高考的重点内容之一，在全国各地的高考试题中都有数列的基础知识、解决问题的基本方法，而且把数列、方程、函数、不等式等知识相结合，以解答题的形式出现，在考查数列的基础知识的同时，注重考查有限与无限、分类与整合、等价转化的数学思想和方法，以及思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识，体现以能力立意命题的原则。递推数列cbaann1•特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。下面就递推数列的通项公式的求解与大家分享。•若b=1，c为常数，数列{an}是等差数列；若c=0，b≠0，数列{an}是等比数列；若c≠0，b≠1，b≠0时呢类型1cbaann1（其中b，c均为常数，bc（b-1）≠0）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1nnaba，其中bc1，再利用换元法转化为等比数列（构造新数列）求解。例1:（2006，重庆,文,14）在数列na中，若111,23(1)nnaaan，则该数列的通项na____（321nna）例2:（2006年福建.理22.）已知数列na满足*111,21().nnaaanN（I）求数列na的通项公式；（II）若数列{bn}滿足12111*444(1)(),nnbbbbnanN证明：数列{bn}是等差数列；（Ⅲ）证明：*122311...().232nnaaannnNaaaI）解：*121(),nnaanN112(1),nnaa1na是以112a为首项，2为公比的等比数列新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆12.nna即*21().nnanN（II）证法一：（定义法）1211144...4(1).nnkkkkna12(...)42.nnkkknnk122[(...)],nnbbbnnb①12112[(...)(1)](1).nnnbbbbnnb②②－①，得112(1)(1),nnnbnbnb即1(1)20,nnnbnb21(1)20.nnnbnb③－④，得2120,nnnnbnbnb即2120,nnnbbb*211(),nnnnbbbbnNnb是等差数列新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆证法二：（数学归纳法）同证法一，得1(1)20nnnbnb令1,n得12.b设22(),bddR下面用数学归纳法证明2(1).nbnd（1）当1,2n时，等式成立新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（2）假设当(2)nkk时，2(1),kbkd那么122[2(1)]2[(1)1].1111kkkkbbkdkdkkkk这就是说，当1nk时，等式也成立新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆根据（1）和（2），可知2(1)nbnd对任何*nN都成立新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆1,nnnbbdb是等差数列新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（III）证明：（放缩法）1121211,1,2,...,,12122(2)2kkkkkkakna12231....2nnaaanaaa111211111111.,1,2,...,,2122(21)23.222232kkkkkkkkakna1222311111111...(...)(1),2322223223nnnnaaannnaaa*122311...().232nnaaannnNaaa类型2nnanfa)(1（b=f（n），c=0）解法：把原递推公式转化为)(1nfaann，这实质为“泛等比”数列，可利用累乘法(逐商相乘法)求解。例3:已知数列na满足321a，nnanna11，求na。解：由条件知11nnaann，分别令)1(,,3,2,1nn，代入上式得)1(n个等式累乘之，即1342312nnaaaaaaaann1433221naan11又321a，nan32例4:（2004年全国I,理15）已知数列{an}，满足a1=1，1321)1(32nnanaaaa(n≥2)，则{an}的通项1___na12nn解：由已知，得nnnnaanaaaa13211)1(32，用此式减去已知式，得当2n时，nnana)1(1，又112aa，naaaaaaaaann13423121,,4,3,1,1，将以上n个式子相乘，得2!nan)2(n例5:已知数列na满足211a，）（111nnaann，求na。例6:（2004，全国I，个理22．本小题满分14分）已知数列1}{1aan中，且a2k=a2k－1+(－1)K,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,…….（I）求a3,a5；（II）求{an}的通项公式.（也可用合并项法）类型3)(1nfaann（b=1，c=f（n））解法：把原递推公式转化为)(1nfaann，这实质上为“泛等差”数列，可利用累加法(逐差相加法)求解解：kkkaa)1(122，kkkaa3212kkkkkkaaa3)1(312212，即kkkkaa)1(31212经检验11a也适合，)(1)1(21321)(1)1(21321222121为偶数为奇数nnannnnn类型41nnnapaq（其中b=p，c=qn均为常数，)0)1)(1((qppq（或1nnnaparq,其中p，q,r均为常数）解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1nq，得：qqaqpqannnn111引入辅助数列nb（其中nnnqab），得：qbqpbnn11再待定系数法解决（即转化为类型1解决）。例7:已知数列na中，651a,11)21(31nnnaa，求na。解：在11)21(31nnnaa两边乘以12n得：1)2(32211nnnnaa令nnnab2，则1321nnbb,解之得：nnb)32(23所以nnnnnba)31(2)21(32例8:（2006，全国I,理22,本小题满分12分）设数列na的前n项的和14122333nnnSa，n=1，2，3，…（Ⅰ）求首项1a与通项na；（Ⅱ）设2nnnTS，n=1，2，3，…，证明：132niiT解：（I）当1n时，323434111aSa21a；当2n时，)3223134(3223134111nnnnnnnaaSSa，即nnnaa241，利用nnnqpaa1（其中p，q均为常数，)0)1)(1((qppq）。（或1nnnaparq,其中p，q,r均为常数）的方法，解之得：nnna24(Ⅱ)将nnna24代入①得Sn=43×(4n－2n)－13×2n+1+23=23×(2n+1－1)(2n－1)Tn=2nSn=32×2n(2n+1－1)(2n－1)=32×(12n－1－12n+1－1)所以,1niiT=321(ni12i－1－12i+1－1)=32×(121－1－12i+1－1)32类型5）（nfbaann1)01(，、bC=f（n）解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列111n1{},,221,2,3I3,IIIIIS,TnnnnnnnnnnnnnaanaayxnbaabaabnSTn已知数列中，点在直线上，其中令求证是等比数列；求数列的通项；设分别为数列的前项和，是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求，不存在，说明理由例9.2006山东文22满分14分II）由（I）知，13131(),4222nnnb1311,22nnnaa21311,22aa322311,22aa11311,22nnnaa将以上各式相加得：1213111(1)(),2222nnaan11111(1)31313221(1)(1)2.12222212nnnnaannn32.2nnan.21432111221111,143121431,432,21I111121121112211为公比的等比数列为首项，是以所以又因为由已知得，解：nnnnnnnnnnnnnnnnnnnbaananaaaaabbaabaabaaanaaa（III）解法一：存在2，使数列{}nnSTn是等差数列???????????????@[e-mail]()(12)2222nnnSaaann11(1)(1)22321212nnnn2213333(1)3.2222nnnnnn12131(1)313342(1).1222212nnnnnTbbb数列{}nnSTn是等差数列的充要条件是,(nnSTAnBAn、B是常数)即2,nnSTAnBn又2133333()2222nnnnnnST2313(1)(1)222nnn当且仅当102，即2时，数列{}nnSTn为等差数列???????????????@[e-mail]解法二：存