通信系统的计算机模拟第六讲

1通信系统的计算机模拟第六讲2第五讲回顾带通信号低通仿真模型复包络：频域，同相和正交分量的谱能量与功率随机带通信号的正交模型随机复包络信号的若干结论信噪比与系统的低通仿真模型线性时不变系统多载波信号非线性与时变系统d1()(()())2XfXfXf1()(()())2qXfXfXfj00()2()()XfXffUff00()()()HfHffUff3第五章滤波器模型与仿真方法滤波器是组成通信系统的许多子系统中的重要部分这些滤波器中的许多是模拟的，为了便于仿真，必须将它们映射为合适的等价数字滤波器近似并且都会在仿真结果中引入误差根据定义，滤波器具有频率选择性，并且具有有限时间冲激响应或者无限时间冲激响应。由于滤波器具有频率选择性，它们引入了记忆???，而由于这种记忆，需要滤波器过去的输入和/或输出来计算给定时刻的滤波器输出。因此，滤波器需要存储，而存储和恢复采样值会大大地增加仿真程序的计算量，反过来，这又增加了仿真程序的运行时间，因此，我们寻求较好的仿真结构以获得减少计算量的算法。不是滤波器设计45.1概述数字滤波器的经典综合方法通常都是基于模拟滤波器原型之上的仿真模型所要求的数字滤波器的设计，从模拟滤波器的S（拉普拉斯）域传递函数着手，来寻求等价的数字滤波器，等价于模拟原型的数字滤波器。基本方法是基于时域判据或频域判据来衡量其等价性。通过要求数字滤波器的输出与作为设计基础的模拟原型的采样输出相匹配，来运用时域判据进行滤波器的设计。“冲激不变法”是使数字滤波器的冲激响应与模拟原型的冲激响应的采样相匹配的一种设计方法对于阶跃不变数字滤波器，数字滤波器的阶跃响应则与对应的模拟原型滤波器阶跃响应的采样相匹配。模拟原型和得到的数字滤波器在时域上是等价的，它们在频域上也近似等价。（采样频率混叠）5双线性z变换最常用方法：双线性z变换：模拟原型（双线性z变换）数字等价模型它允许对频率响应上的点进行匹配，使得模拟原型和所得数字滤波器在某些指定频率值上具有相同的频率响应（包括幅度和相位）。双线性变换法以引入非线性频率畸变（Warping）为代价消除了混叠误差。6IIRandFIR基于模拟原型的综合方法给出无限时间冲激响应（infinite-durationimpulseresponse,IIR）数字滤波器。原因：模拟滤波器的冲激响应会渐近趋于零，严格地讲，这种冲激响应在持续时间上是无限长的。为获得用于仿真程序的有限时间冲激响应（finite-durationimpulseresponse,FIR）数字滤波器，由标准IIR设计方法所产生的冲激响应可能需要截短（truncate）。通过在FIR滤波器的冲激响应中包含足够多的项数，由截短引起的误差可以降低到一个允许的水平下。7Pure数字滤波器数字滤波器的一个重要特性是，在没有对应的模拟滤波器时也可设计数字滤波器。允许近似给定的幅度响应，但要保持一个完全线性的相位响应，这种滤波器为FIR滤波器，可通过横向延时线（TransversalDelayLine,TDL）结构实现。这种滤波器有多种设计方法，最基本的方法是将以采样频率为周期的期望幅度响应展开成为傅里叶级数，所得傅里叶级数的系数就确定了数字滤波器的冲激响应。这是频率采样的一个例子——因为在各频率点上对期望频率响应进行“采样”，对这些频率采样点进行傅里叶反变换（IFFT）之后，就获得了滤波器的冲激响应。将滤波器的输入信号与冲激响应进行卷积运算，实现了仿真滤波器模型并且获得了滤波器的输出信号。8数字滤波器分类95.2IIR与FIR滤波器数字滤波器通常根据冲激响应的持续时间分为IIR滤波器和FIR滤波器。和冲激响应分类紧密联系的是滤波器的实现或结构。105.2.1IIR滤波器数字滤波器：计算过去的N个输出采样点y[n-k](1kN）、当前的输入采样点x[n]，以及过去的N个输入采样点x[n-k]](1kN)的加权和作为当前的输出采样点。01[][][]NNkkkkynbxnkaynk任何权值ak或bk(k0)具有非零值，处理器就会有记忆，因而具有频率选择性，我们称之为“滤波器”。在时变系统中，其中的一个或多个权值还会是序数n的函数。对（5-1）式两边进行Z变换，可以得到传递函数H（z）。记住z变换是一种线性运算，和的z变换等于z变换的和，k个采样周期的延时等价于乘以因子z-k。（5-1）11由上式得传递函数为10()1()NNkkkkkkYzazXzaz01()()()1NkkkNkkkbzYzHzXzaz此即线性时不变滤波器的传递函数的一般形式（5-2）（5-3）12滤波器的冲激响应以及频率响应冲激响应（记为h[n]）是传递函数H（z）的逆变换，用exp(j2πfT)替代传递函数中的变量，就可得频率响应。exp(2)()|(exp(2))zjfTHzHjfT数字滤波器的冲激响应记作h[n]，只要令x（n)=δ(n)就可得到它。1,0[]0,0nnn（5-4）（5-5）13WhyIIR由于式（5-1）的递归性(y[n]是y[n-1]的函数），冲激响应通常是无限长的，IIR滤波器。冲激响应h[n]是序数n的离散函数，而频率响应是连续变量f的连续函数。145.2.2FIR滤波器对于k≥1有ak=0,则得到FIR滤波器。FIR数字滤波器的传递函数如下：0()NkkkHzbz其对应的冲激响应下如：0[][]Nkkhnbnk仅在取值范围0≤n≤N内，冲激响应具有非零值，最多有个N+1非零项，它是有限长的。00[][][][]NNkkkynbxnkhkxnk（5-6）（5-7）（5-8）155.2.3综合与仿真在仿真程序中使用滤波器涉及两种截然不同的运算操作综合：给定了滤波要求，并确定了满足这些要求的滤波器的传递函数H（z），这就建立了仿真模型。综合运算所得结果通常表示成两个向量：一个包含分母系数，另一个则包含分子系数。这两个向量定义了传递函数式，以及给定滤波器的输入产生滤波器输出的算法。即使采用复数算法，综合操作的计算量通常也不大，因为滤波器的综合运算只进行一次，因而发生在仿真程序主循环的外部。第二种运算操作涉及在每一个仿真时间步，计算滤波器的输出。这种运算在蒙特卡罗仿真程序中要重复进行数百万次，甚至数十亿次，如果想在合理的仿真运行时间内完成，要尽可能地减小这种运算的计算量。165.3IRR与FIR滤波器的实现Target:最小化计算量仿真时间短5.3.1直接II型与转置直接II型的实现IIR数字滤波器的一种有效方法是采用转置直接Ⅱ型结构。转置直接Ⅱ型滤波器结构的信号流图，及推导出这种结构的直接Ⅱ型结构的信号流图。1701()()()1NkkkNkkkbzYzHzXzaz01[][][]NNkkkkynbxnkaynk18产生转置直接Ⅱ型滤波器的规则1．重画原有（直接Ⅱ型）信号流图，保持结构（所有链路的相对位置不变）。2．将每次链路中的信号流反向。3．对新链路赋上与原有链路相同的运算（乘以一个常数、时延等）。4．如有需要，翻转（从左到右）新构造的信号流图，使得输入/输出信号流的方向与原始信号流图一致（注：信号流的方向通常是从左向右）。新获得的信号流图叫做转置直接Ⅱ型（DFⅡ）结构，其传递函数与原始信号流图相同。19转置直接Ⅱ型的优势5-2所示的四阶转置直接Ⅱ型滤波器。（可以很方便地扩展到高阶滤波器）。给定输入采样，要计算输出信号第一步，计算状态变量。对于四阶滤波器，在我们的公式中有五个状态变量。这五个状态变量的计算式如下：010[][1][]wnwnbxn＝11021[][][1][]wnawnwnbxn22032[][][1][]wnawnwnbxn33043[][][1][]wnawnwnbxn4404[][][]wnawnbxn（5-9）（5-10）（5-11）（5-12）（5-13）20直接对应着Matlab程序21x和y分别代表滤波器的当前输入和当前输出。式（5-9）到式（5-13）采样步长的延时，不需要存储和恢复这是MATLAB子程序filter要基于转置直接Ⅱ型结构的原因。在首次进入仿真循环之前必须进行初始化，输出一个瞬态响应。这段时间通常称为“稳定时间”，其大小为滤波器带宽倒数的若干倍。22矩阵形式数字滤波器的状态方程通常使用矩阵形式来表达W[]FW[]FW[1]B[]cdnnnxnW[n]和W[n-1]是的k×1的列向量，分别表示当前及过去的状态变量。Fc和Fd是k×k的系数矩阵，B是k×1的列向量，用来将输入x[n]耦合到状态变量。单输出信号y[n]的输出方程为：[]CW[]ynn这里C是一个的1×k行向量（5-14）（5-15）23(5-16)24可算图在主对角线及其上方元素全部为零，具有这种属性的信号流图称为“可算图”：状态变量可以依次计算出来可算的充要条件：每一个闭合回路中的路径上至少含有一个延时单元，即z－1。25Maltab生成对于大量不同的模拟原型，可以轻易算出滤波器系数ak和bk。尽管生成的这些滤波器系数通常会用MATLAB子程序filter，但是使用下列三行简单的MATLAB程序，就可以逐个采样点地仿真IIR滤波器。26Maltab生成其中a和b在仿真循环外确定参数sreg代表长度为order+1的移位寄存器，其中order是滤波器阶数。可使用MATLAB滤波器综合子程序，如butter（巴特沃思滤波器）、cheby1（切比雪夫1型滤波器）及elliptic（椭圆滤波器），来计算滤波器系数向量a和b。必须小心以确保存放分子系数和分母系数的向量保持相同的长度，如果这两个向量长度不相等，较短的向量应该进行补零，使之与较长向量的长度相等。27例5-1来确定一个四阶巴特沃思滤波器的冲激响应。n=40;%numberofsamplesorder=4;%filterorder[b,a]=butter(order,0.1??);%prototype%Thefollowingprogramsegmentistheblockprocessingimplementation.in1=[1,zeros(1,n-1)];%inputvectorout1=filter(b,a,in1);%outputvector%Thefollowingprogramsegmentisthesample-by-sampleimplementation.sreg=zeros(1,order+1);%initializeshiftregisterfork=1:nifk==1in=1;%impulseinputelsein=0;end28out=b(1)*in+sreg(1,1);%determineoutputsreg=in*b-out*a+sreg;%updateregistersreg=[sreg(1,2:(order+1)),0];%shiftout2(k)=out;%createoutputvectorendsubplot(2,1,1)index=0:n-1;stem(index,out1)xlabel('SampleIndex')ylabel('BlockProcessing')subplot(2,1,2)stem(index,out2)xlabel('SampleIndex')ylabel('SerialProcessing')29Result305.3.2FIR滤波器的实现令ak＝0，可从图5-2直接得出FIR数字滤波器的实现策略。抽头延时线或横向延时线（TDL）结构，它们用带抽的延时线（级联式单元z－