讲义模板(格林公式)

第27次课2学时课程安排：第二学期，周学时4，共64学时.主要内容：一元函数积分学、常微分方程、向量代数与空间解析几何、多元函数微分学、多元函数积分学、无穷级数本次课题：格林公式教学要求：1.掌握格林公式；2.掌握平面上的曲线积分与路径无关的条件；3.会二元函数的全微分求积.重点：格林公式；曲线积分与路径无关的条件.难点：曲线积分与路径无关的条件.教学手段及教具：启发式教学法，以讲授为主，使用电子教案讲授内容及时间分配：1.格林公式40分钟2.平面上的曲线积分与路径无关的条件40分钟3.二元函数的全微分求积10分钟课后作业参考资料第27讲格林公式一、复习旧知（一）对坐标曲线积分定义;niiiiLyfdyyxf10),(lim),(.（二）对坐标的曲线积分的计算;定理1设P(xy)、Q(xy)是定义在光滑有向曲线Lx(t)y(t)上的连续函数当参数t单调地由变到时点M(xy)从L的起点A沿L运动到终点B则dttttPdxyxPL)()](),([),(dttttQdyyxQL)()](),([),(定理2若P(xy)是定义在光滑有向曲线Lx(t)y(t)(t)上的连续函数L的方向与t的增加方向一致则dttttPdxyxPL)()](),([),(应注意的问题下限a对应于L的起点上限对应于L的终点不一定小于二、内容精讲（一）格林公式1．基本概念定义1:设D为平面区域如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D则称D为平面单连通区域否则称为复连通区域定义2:对平面区域D的边界曲线L我们规定L的正向如下当观察者沿L的这个方向行走时D内在他近处的那一部分总在他的左边2．格林公式定理1设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P(xy)及Q(xy)在D上具有一阶连续偏导数，则有LDQdyPdxdxdyyPxQ)(其中L是D的取正向的边界曲线证明：略（根据班级情况可不证明）应注意的问题（1）对复连通区域D，格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分，且边界的方向对区域D来说都是正向（2）设区域D的边界曲线为L，取PyQx则由格林公式得LDydxxdydxdy2，或LDydxxdydxdyA21例题精讲：例1椭圆xacosybsin所围成图形的面积A分析只要1yPxQ就有AdxdydxdyyPxQDD)(解设D是由椭圆x=acosy=bsin所围成的区域令yP21xQ21则12121yPxQ于是由格林公式LLDxdyydxxdyydxdxdyA2121212022)cossin(21dabab2021dabab例2.设L是任意一条分段光滑的闭曲线证明Ldyxxydx022证令P2xyQx2则022xxyPxQ因此由格林公式有0022dxdydyxxydxDL(为什么二重积分前有“”号？)例3计算Dydxdye2其中D是以O(00)A(11)B(01)为顶点的三角形闭区域分析要使2yeyPxQ只需P02yxeQ解令P02yxeQ则2yeyPxQ因此由格林公式有BOABOAyDydyxedxdye22)1(2111022edxxedyxexOAy例4.（选讲）计算Lyxydxxdy22其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线L的方向为逆时针方向解令22yxyP，22yxxQ则当x2y20时有yPyxxyxQ22222)(记L所围成的闭区域为D当(00)D时由格林公式得022Lyxydxxdy当(00)D时在D内取一圆周lx2y2r2(r0)由L及l围成了一个复连通区域D1应用格林公式得02222lLyxydxxdyyxydxxdy其中l的方向取逆时针方向于是lLyxydxxdyyxydxxdy22222022222sincosdrrr2解记L所围成的闭区域为D当(00)D时由格林公式得0)(22dxdyyPxQyxydxxdyDL当(00)D时在D内取一圆周lx2y2r2(r0)由L及l围成了一个复连通区域D1应用格林公式得0)(122dxdyyPxQyxydxxdyDlL即lLyxydxxdyyxydxxdy02222其中l的方向取顺时针方向于是lLyxydxxdyyxydxxdy22222022222sincosdrrr2分析这里22yxyP22yxxQ当x2y20时有yPyxxyxQ22222)(（二）平面上曲线积分与路径无关的条件1.定义:设G是一个开区域P(xy)、Q(xy)在区域G内具有一阶连续偏导数如果对于G内任意指定的两个点A、B以及G内从点A到点B的任意两条曲线L1、L2等式21LLQdyPdxQdyPdx恒成立就说曲线积分LQdyPdx在G内与路径无关否则说与路径有关设曲线积分LQdyPdx在G内与路径无关L1和L2是G内任意两条从点A到点B的曲线则有21LLQdyPdxQdyPdx因为21LLQdyPdxQdyPdx021LLQdyPdxQdyPdx021LLQdyPdxQdyPdx0)(21LLQdyPdx所以有以下2.等价定义:曲线积分LQdyPdx在G内与路径无关相当于沿G内任意闭曲线C的曲线积分LQdyPdx等于零3.判定方法定理2设开区域G是一个单连通域函数P(xy)及Q(xy)在G内具有一阶连续偏导数则曲线积分LQdyPdx在G内与路径无关（或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零）的充分必要条件是等式xQyP在G内恒成立证明:略（教师根据实际情况可选证）应注意的问题(1)定理要求区域G是单连通区域且函数P(xy)及Q(xy)在G内具有一阶连续偏导数如果这两个条件之一不能满足那么定理的结论不能保证成立(2)破坏函数P、Q及yP、xQ连续性的点称为奇点例5.计算Ldyxxydx22其中L为抛物线yx2上从O(00)到B(11)的一段弧解因为xxQyP2在整个xOy面内都成立所以在整个xOy面内积分Ldyxxydx22与路径无关ABOALdyxxydxdyxxydxdyxxydx22222211102dy讨论设L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线L的方向为逆时针方向问022Lyxydxxdy是否一定成立？提示这里22yxyP和22yxxQ在点(00)不连续因为当x2y20时yPyxxyxQ22222)(所以如果(00)不在L所围成的区域内则结论成立而当(00)在L所围成的区域内时结论未必成立三、二元函数的全微分求积曲线积分在G内与路径无关表明曲线积分的值只与起点从点(x0y0)与终点(xy)有关如果LQdyPdx与路径无关则把它记为),(),(00yxyxQdyPdx即),(),(00yxyxLQdyPdxQdyPdx若起点(x0y0)为G内的一定点终点(xy)为G内的动点则u(xy)),(),(00yxyxQdyPdx为G内的的函数定理3设开区域G是一个单连通域函数P(xy)及Q(xy)在G内具有一阶连续偏导数则P(xy)dxQ(xy)dy在G内为某一函数u(xy)的全微分的充分必要条件是等式xQyP在G内恒成立例6.验证(2,3)(1,1)()()xydxxydy在xOy面内与路径无关，并计算积分值.解：略