论极限与微分的关系

论积分与极限、微分、级数的联系摘要本文主要是针对积分与极限等重要的数学分析概念的联系与区别这个问题进行的讨论与研究。本文由极限定义出发，从定义，性质，应用等角度，分析积分与微分（导数）、极限、以及级数的联系，从而更深刻的理解各个章节在数学分析中的地位，反思概念的本质，为今后更好的引深到其他内容打好基础。一．问题描述回顾数学分析全册，我们是先由极限展开到多元微分，积分学，一直到级数，而积分学正是整个数学分析的最为重要的枝干之一，但它与前后面的诸多内容究竟那些有联系，那些没有联系,联系几何？我们也常常遇到这样的问题:求)]/1)/21)(/11[(limnnnnn（这显然定积分相关★关键词：定积分不定积分极限微分级数二．问题分析1.极限与导数。导数定义：设函数y=f(x)在点Xo处的某领域内有定义，若极限xoxxofxfx)()(lim0存在，则称该极限为函数f在点Xo处的导数，记作)(xf导数的实质是函数增量Δy与自变量ΔX之比xΔΔy的极限2.极限与微分由微分定义可知，Δy=AΔx+o(Δx),若函数在xo处可微，则满足f在xo处可导且A=)(xof。微分是导数的变形3.积分与导数不定积分的定义：设函数f与F在区间I上都有定义。若IxxfXF),()(则称F为f在区间I上的一个原函数。不难看出不定积分与导数是类似于加减法的逆运算3.积分与极限定积分的定义--曲边梯形的面积：①分割：设闭区间ba,上有n-1个点，依次为XoaX1X2…Xn-1=b分为n份②近似：ΔSi=f(εi)△Xi③求和：iniixfS△)(1令ix△max④取极限：iniixfS△)(lim10=J,存在，则称极限J为f(x)在ba,上的定积分，记作badxxf)(定积分就是积分和式的极限，其本质上是极限问题4.积分与级数广义积分包括无穷限反常积分，与无界函数反常积分（暇积分）暇积分可转化为无穷限反常积分，故在此只讲无穷限反常积分1)定义比较反常积分：若f(x)在,a有定义，且在任意[a,b]上badxxf)(存在，且其极限J存在，则称J为f(x)在[a,+∞)上的反常积分,记作baabdxxfdxxf)(lim)(数项级数:给定一个数列nu对它的各项一次用+号连接起来的表达式nuuu21称为数项级数1nnu=S[收敛于S}两者定义本质均为无穷求和运算，不过前者是对连续变量的求和，对函数求极限；后者是对离散变量的求和，对数列求极限。2）收敛性比较本质上都是对数列极限与函数极限的收敛性敛：反之发散存在，则称反常积分收若babdxxfJ)(lim若数项级数的部分和数列ns收敛于S，则数项级数收敛：反之ns发散，则数项级数发散3）绝对收敛比较收敛收敛时，反常积分绝对当dxxfa)(若级数收敛收敛，则称原级数绝对nuuu214）联系性：a.相互转化：111)(),}({)(nAAnanndxxfaAAdxxf收敛数项级数的递增数列任一趋于收敛的充要条件是：对且anAAnndxxfdxxf11)()(由此得到讨论无穷积分dxxfa)(收敛的问题可考虑为讨论无穷级数11)(nAAnndxxf的收敛问题另一方面，每一数项级数1nnu可看做一个函数的无穷限反常积分，只要令1,)(nxnuxfn,因而11)(dxxfunnb.积分判别法：根据积分与级数的对应关系,那么与正项级数相应的是非负函数,利用非负函数的单调性与积分性质，并以反常积分为比较对象来判断正项级数的收敛性，即积分判别法。设f为[1,+∞)上的非负减函数则正项级数)(xf与反常积分1)(dxxf同时收敛，同时发散。5）区别性：由于反常积分是连续变量的无穷形式，不像离散变量有相邻两项的概念，对开n次方也无意义，所以反常积分无相应的形式直接用比式或根式判别法判断收敛性。三．问题总结极限是微分、导数、不定积分、定积分的基础，最初微积分由牛顿、莱布尼茨发现的时候，没有严格的定义，后来法国数学家柯西运用极限，使微积分有了严格的数学基础。而极限理论也贯穿整个微积分学。积分又是导数的逆运算对于积分与级数，级数理论是数学分析学的一个分支；它与另一个分支微积分学一起作为基础知识和工具出现在其余各分支中。二者共同以极限为基本工具，分别从离散与连续两个方面，结合起来研究分析学的对象，即变量之间的依赖关系——函数。在实际生活中微积分在创立的初期就为级数理论的开展提供了基本的素材。它通过自己的基本运算与级数运算的纯形式的结合，达到了一批初等函数的(幂)级数展开，此后级数便作为函数的分析等价物,用以计算函数的值,用以代表函数参加运算，并以所得结果阐释函数的性质参考文献：[1]华东师范大学数学系.数学分析.[M].北京：高等教育出版社，2001[2]魏正刚：数项级数与无穷限广义积分。[J]科技资讯，2010.NO.12[3]宋忠生：建立无穷级数与无穷积分之间的联系。[J].山东建筑大学学报