北京大学力学讲义(孟策)

1引言——物理学是什么？“物理学是探讨物质的结构和运动基本规律的学科”——赵凯华，罗蔚茵，《新概念物理教程·力学》研究对象：物质→可观测的东西＊物理学→现象学Physical：源于希腊语，意为“自然的、肉体的”＊观测不到的东西（如上帝、阿弥陀佛……）不是物理学不是（或不完全是）一个层面的知识＊科学不是万能的：有触及不到的地方基石：实验伽利略（GalileoGalilei，1564-1642）分析工具＊数学：牛顿（I.Newton，1642-1727）《自然哲学之数学原理》，1687＊（基于实验的）思辨套路第一篇力学“研究机械运动及其规律的物理学分支”（狭义）Mechanical：机械的、力学的广义的力学：电动力学、热力学、统计力学、量子力学……经典力学：＊牛顿力学：动力学核心为“力”→矢量力学＊理论力学：动力学核心为“能量”，包含拉格朗日（J.Lagrange,1735-1813）力学和哈密顿（W.R.Hamilton，1805-1865）力学《力学》教学内容：＊牛顿定律{动量定理→动量守恒定律机械能定理→机械能守恒定律角动量定理→角动量守恒定律＊应用：刚体；振动与波；流体实验合理假设（模型）数学推演及推论实验验证NOYES2第一章质点运动学第一章作业：2、4、6、10、12、14、19{运动学：如何描述运动动力学：（特定）运动形成的原因运动：“物体及物体中的各个点部位的空间位置随时间的变化”（舒幼生，《力学（物理类）》）芝诺（Zeno，约490B.C.——425B.C.）悖论：“飞矢不动”飞行的箭每时刻占据固定的空间范围、具有相同的形状，如何称之为“动”运动关涉位置随时间的变化：无穷小时间间隔≠0⇒微积分的引入惠施（390B.C.——317B.C.）：“飞鸟之景，未尝动也”经典力学质点某时刻运动状态的完备描述：给定{𝑟⃑(𝑡);𝑣⃑(𝑡)}1.1时间和空间空间：事物排列的相对方位和次序时间：事物发生的先后顺序1.1.1时空观宗教的时空观：如神创时空观、唯识时空观等哲学上的时空观：如康德（I.Kant，1724-1804）的“先验时空观”时空先于经验存在，是人们“整理感性材料的先天直观形式”（康德，《纯粹理性批判》，1781）物理的时空观：测量的时空观空间是用尺测量的东东；时间是用表测量的东东物理学中的时空观：*绝对时空观：与观察者、物质及其运动无关→与物理无关物理/数学实现：经典力学/平直欧式空间+时间（假定！）*相对时空观：与观察者、物质及其运动无关（马赫）物理/数学实现（爱因斯坦）·狭义相对论/平直闵氏时空·广义相对论/黎曼弯曲时空“物质告诉时空如何弯曲，时空告诉物质如何运动”——惠勒1.1.2时空的度量时间的度量：*满足一定规律的物理过程可看作是“钟”：如人的相貌*周期性的物理过程：天体运动，钟摆振动，原子钟*秒的定义：1s为铯133原子基态两个超精细能级之间跃迁相对应的辐3射周期的9192631770倍。（1967，第十三届国际计量大会，精度达10−12）“阿喀琉斯追龟”佯谬：芝诺：阿喀琉斯每次来到龟的原地点，龟总要前进一步，所以阿喀琉斯“永远”也追不上乌龟解释：芝诺钟与物理钟比较，不是个“好”钟。设阿喀琉斯速度为𝑣1，乌龟速度为𝑣2(𝑣1)，初始距离为𝐿.芝诺钟物理钟1𝐿/𝑣12𝐿/𝑣1+(𝐿/𝑣1)∙𝑣2/𝑣1………………∞𝐿𝑣1∑(𝑣2𝑣1)𝑖∞𝑖=0=𝐿𝑣1−𝑣2=𝑡=𝑡∞′空间的度量：*在一定时空范围内稳定的长度可看作为“尺”：如国王的手臂*实物基准：米原器（1889，第一届国际计量大会）*自然基准：氪86原子的橙黄色光波波长的1650763.73倍为1米（1960，第十一届国际计量大会，精度达10−9）*基于真空光速不变的标准：米是光在真空中(1/299792458)s的时间间隔内通过的距离长度（1983，第十七届国际计量大会）1.1.3参考系运动最基本的内容：两物体的相对运动参考物：A相对B运动，则B为参考物，反之亦然参考空间：参考物在体结构上静态．．延展而形成的三维空间·一个点原则上不能确定地延展成（三维）参考空间，即不可作为三维运动的参考物·参考空间的各个点部位相对静止参考系：参考空间+时间空间坐标系：用来标定空间各个点位置。可根据方便选取（三维）直角坐标系、柱坐标系、球坐标系……时间坐标系：用来标定时间点位置。1.1.4质点模型线度可略：与典型尺度比较，如日地公转系统维度可略：转动和形变可以忽略，如刚体平动（即使线度很大）质量保留：动力学上的考虑质点运动学：即“点的运动学”，与数学上的曲线微分学有很大关联。41.2位矢、速度和加速度1.2.1位矢与位移位矢与运动学方程：选O为参考点，𝑡时刻的位置P可由矢量描述：𝑟⃑=𝑟⃑(𝑡)称为位置矢量，简称位矢。以𝑡为变量，如上方程包含质点的所有运动学信息，称为运动学方程（Kinematicalequation）。•选取3维直角坐标系O−𝑥𝑦𝑧：𝑟⃑=𝑟⃑(𝑡)=𝑥(𝑡)𝑖⃑+𝑦(𝑡)𝑗⃑+𝑧(𝑡)𝑘⃑⃑等价为标量型的运动方程（组）：𝑥=𝑥(𝑡);𝑦=𝑦(𝑡);𝑧=𝑧(𝑡)视𝑡为参量，如上即为轨道（空间曲线）参量方程，消去𝑡，即得显式的轨道方程。匀速圆周运动：𝑅、𝜔、𝜃0为常量{𝑥=𝑅cos(𝜔𝑡+𝜃0)𝑦=𝑅sin(𝜔𝑡+𝜃0)消𝑡⇒𝑥2+𝑦2=𝑅2其中𝜃(𝑡)=𝜃0+𝜔𝑡为角位置，𝜔=𝜃̇为角速度。位移（矢量）：•如图，质点𝑡→𝑡+∆𝑡时间段的位置移动可由矢量∆𝑟⃑=𝑟⃑(𝑡+∆𝑡)−𝑟⃑(𝑡)表示，称为位移矢量，简称位移。•∆𝑟⃑∆𝑡→0→𝑑𝑟⃑，称为无穷小位移。•注意路程𝑆与位移的差别：一般路程依赖于路径，即𝑆≠|∆𝑟⃑|，但𝑑𝑆=|𝑑𝑟⃑|1.2.2速度与加速度速度（矢量）：表征运动快慢及方向•质点𝑡→𝑡+∆𝑡时间段平均速度𝑣⃑̅=∆𝑟⃑∆𝑡=𝑟⃑(𝑡+∆𝑡)−𝑟⃑(𝑡)∆𝑡•取极限∆𝑡→0（但不等于零！）𝑣⃑=lim∆𝑡→0∆𝑟⃑∆𝑡=lim∆𝑡→0𝑟⃑(𝑡+∆𝑡)−𝑟⃑(𝑡)∆𝑡=𝑑𝑟⃑𝑑𝑡=𝑟⃑̇定义（瞬时）速度（矢量）。几何特征：其方向沿轨道切向！（瞬时）加速度（矢量）：表征速度变化（包括其大小和方向）的快慢及方向𝑎⃑=𝑙𝑖𝑚∆𝑡→0∆𝑣⃑∆𝑡=𝑙𝑖𝑚∆𝑡→0𝑣⃑(𝑡+∆𝑡)−𝑣⃑(𝑡)∆𝑡=𝑑𝑣⃑𝑑𝑡=𝑣⃑̇=𝑟⃑̈速度与加速度的直角坐标分解：{𝑟⃑=𝑟⃑(𝑡)=𝑥(𝑡)𝑖⃑+𝑦(𝑡)𝑗⃑+𝑧(𝑡)𝑘⃑⃑𝑑𝑖⃑𝑑𝑡=𝑑𝑗⃑𝑑𝑡=𝑑𝑘⃑⃑𝑑𝑡=0𝑟⃑(𝑡)𝑟⃑(𝑡+Δ𝑡)Δ𝑟⃑PQO𝑥𝑦𝑧5⇒{𝑣𝑥=𝑥̇𝑣𝑦=𝑦̇𝑣𝑧=𝑧̇,{𝑎𝑥=𝑥̈𝑎𝑦=𝑦̈𝑎𝑧=𝑧̈矢量微商：整体式（定义式）：接近于几何方法，简洁但抽象（固定方向直角分解）分量式：对应于代数解析的方法，只涉及一元标量函数的导数运算，简单规范但表达式相对冗长。匀速圆周运动（分量式）𝑅=const.,𝜃(𝑡)=𝜃0+𝜔𝑡𝜔=𝑑𝜃𝑑𝑡=const.如图，位矢分量式为𝑟⃑(𝑡)=𝑅cos(𝜔𝑡+𝜃0)𝑖⃑+𝑅sin(𝜔𝑡+𝜃0)𝑗⃑速度为𝑣⃑(𝑡)=𝑟⃑̇(𝑡)=−𝜔𝑅sin(𝜔𝑡+𝜃0)𝑖⃑+𝜔𝑅cos(𝜔𝑡+𝜃0)𝑗⃑⇒𝑣⃑={方向：切向（𝑣⃑⋅𝑟⃑=0）大小：𝑣=√𝑣𝑥2+𝑣𝑦2=𝜔𝑅加速度为𝑎⃑(𝑡)=𝑣⃑̇(𝑡)=−𝜔2𝑅cos(𝜔𝑡+𝜃0)𝑖⃑−𝜔2𝑅sin(𝜔𝑡+𝜃0)𝑗⃑=−𝜔2𝑟⃑匀速圆周运动（整体式）考查如图无穷小顶角的等腰三角形（底角在零阶近似下为直角！）𝑑𝑡:𝑑𝑟⃑={方向：切向(垂直于𝑟⃑)大小：|𝑑𝑟⃑|=|𝑟⃑|𝑑𝜃=𝑅𝜔∙𝑑𝑡（约定：𝜔0）⇒𝑣⃑=𝑑𝑟⃑𝑑𝑡={方向：切向（垂直于𝑟⃑）大小：𝑣=|𝑑𝑟⃑|𝑑𝑡=𝜔𝑅解如图速度变化矢量三角形（切向转角仍为𝑑𝜃）𝑎⃑=𝑑𝑣⃑⃑𝑑𝑡={方向：向心(垂直于𝑣⃑)大小：𝑎心=𝜔𝑣=𝜔2𝑅=𝑣2𝑅变速圆周运动（整体式）仍有（引入沿运动方向的切向矢量𝜏⃑）𝑣⃑=𝑑𝑟⃑𝑑𝑡=𝜔𝑅𝜏⃑但角加速度𝛽=𝑑𝜔/𝑑𝑡≠0，故速度方向大小均改变，解如图速度变化矢量三角形：𝑑𝑣⃑=𝑑𝑣⃑⊥+𝑑𝑣⃑⫽𝑥𝑦𝜃0𝜔𝑡O𝑦(𝑡)𝑥(𝑡)𝑦𝑥𝜃(𝑡)𝑑𝜃𝑑𝜃𝑑𝑣⃑𝑣⃑(𝑡)𝑣⃑(𝑡+𝑑𝑡)O𝑑𝑟⃑𝑣⃑(𝑡+𝑑𝑡)𝑑𝜃𝑑𝑣⃑𝑣⃑(𝑡)𝑑𝑣⃑⊥𝑑𝑣⃑⫽6𝑑𝑣⃑⊥={方向：向心大小：𝑣∙𝑑𝜃=𝑣𝜔∙𝑑𝑡𝑑𝑣⃑⫽={方向：切向大小：|𝑑𝑣|∴𝑎⃑=𝑎⃑心+𝑎⃑切引入（内）法向向量𝑛⃑⃑，约定沿向心方向，则{𝑎⃑心=𝑣𝜔𝑛⃑⃑=𝑣2𝑅𝑛⃑⃑=𝜔2𝑅𝑛⃑⃑𝑎⃑切=𝑑𝑣𝑑𝑡𝜏⃑=𝑑(𝑅𝜔)𝑑𝑡𝜏⃑=𝑅𝛽𝜏⃑讨论：1)平面矢量的变化可分解：𝑑𝐴⃑=𝑑𝐴⃑⫽+𝑑𝐴⃑⊥其中𝑑𝐴⃑⫽由大小的改变带来，而𝑑𝐴⃑⊥由方向的改变带来|𝑑𝐴⃑⫽|=|𝑑𝐴|，|𝑑𝐴⃑⊥|=𝐴∙𝜔𝑑𝑡2)|𝑑𝐴⃑|=√|𝑑𝐴⃑⫽|2+|𝑑𝐴⃑⊥|2≥|𝑑𝐴|3)注意到：𝑑𝜏⃑⃑𝑑𝑡=𝜔𝑛⃑⃑，可直接求导𝑎⃑=𝑑𝑣⃑𝑑𝑡=𝑑(𝑅𝜔𝜏⃑)𝑑𝑡=𝑅𝑑𝜔𝑑𝑡𝜏⃑+𝑅𝜔𝑑𝜏⃑𝑑𝑡=𝑅𝛽𝜏⃑+𝜔2𝑅𝑛⃑⃑类似地，𝑑𝑟⃑̂𝑑𝑡=𝜔𝜏⃑，其中𝑟⃑̂=−𝑛⃑⃑为径向单位向量。故有𝑣⃑=𝑑𝑟⃑𝑑𝑡=𝑑(𝑅𝑟⃑̂)𝑑𝑡=𝑅𝜔𝜏⃑角量矢量化按旋转方向的右手螺旋规则引入方向向量𝑘⃑⃑𝑑𝜃矢量化⇒𝑑𝜃⃑=𝑑𝜃𝑘⃑⃑⇒𝑑𝑟⃑=𝑑𝜃⃑×𝑟⃑𝜔矢量化⇒𝜔⃑⃑⃑=𝑑𝜃⃑𝑑𝑡=𝜔𝑘⃑⃑⇒𝑣⃑=𝑑𝑟⃑𝑑𝑡=𝑑𝜃⃑𝑑𝑡×𝑟⃑=𝜔⃑⃑⃑×𝑟⃑𝛽矢量化⇒𝛽⃑=𝑑𝜔⃑⃑⃑𝑑𝑡=𝛽𝑘⃑⃑⇒𝑎⃑=𝑑𝑣⃑𝑑𝑡=𝑑𝜔⃑⃑⃑𝑑𝑡×𝑟⃑+𝜔⃑⃑⃑×𝑑𝑟⃑𝑑𝑡=𝛽⃑×𝑟⃑+𝜔⃑⃑⃑×𝑣⃑∴{𝑎⃑心=𝜔⃑⃑⃑×𝑣⃑=𝜔⃑⃑⃑×(𝜔⃑⃑⃑×𝑟⃑)=𝜔2𝑅𝑛⃑⃑𝑎⃑切=𝛽⃑×𝑟⃑=𝑅𝛽𝜏⃑1.3运动学逆问题积分问题：已知𝑣⃑(𝑡)求𝑟⃑(𝑡)𝑣⃑=𝑑𝑟⃑𝑑𝑡⇒𝑑𝑟⃑=𝑣⃑𝑑𝑡7𝑟⃑(𝑡)−𝑟⃑(𝑡0)=∑𝑑𝑟⃑=∑𝑣⃑𝑑𝑡⇒∫𝑑𝑟⃑𝑟⃑(𝑡)𝑟⃑(𝑡0)=∫𝑣⃑(𝑡)𝑑𝑡𝑡𝑡0•若𝑟⃑(𝑡0)已知，则构成定解问题，称为运动学初值问题。•通常选𝑡0为计时零点，记𝑟⃑0=𝑟⃑(𝑡0=0)。•注意积分限的一一对应•同理，若已知𝑎⃑(𝑡)和𝑣⃑0，则∫𝑑𝑣⃑𝑣⃑⃑(𝑡)𝑣⃑⃑0=∫𝑎⃑(𝑡)𝑑𝑡𝑡𝑡0例如匀加速直线运动：𝑎=const.∫𝑑𝑣=∫𝑎𝑑𝑡⇒𝑣(𝑡)=𝑣0+𝑎𝑡𝑡0𝑣(𝑡)𝑣0∫𝑑𝑥=∫𝑣(𝑡)𝑑𝑡⇒𝑥(𝑡)=𝑥0+𝑣0𝑡𝑡0𝑥(𝑡)𝑥0+12𝑎𝑡2如何求𝑣=𝑣(𝑥)？方法一由𝑣(𝑡)和𝑥(𝑡)消去𝑡方法二寻找𝑑𝑣𝑑