行列式的计算技巧总结

行列式的若干计算技巧与方法目录摘要.......................................................1关键字.....................................................11.行列式的概念及性质.......................................21.1n阶行列式的定义........................................21.2行列式的性质...........................................22.行列式计算的几种常见技巧和方法...........................42.1定义法.................................................42.2利用行列式的性质.......................................52.3降阶法.................................................72.4升阶法（加边法）.......................................92.5数学归纳法............................................112.6递推法................................................123.行列式计算的几种特殊技巧和方法.........................143.1拆行（列）法..........................................143.2构造法................................................173.3特征值法..............................................184.几类特殊行列式的计算技巧和方法.........................194.1三角形行列式..........................................194.2“爪”字型行列式......................................194.3“么”字型行列式......................................214.4“两线”型行列式......................................224.5“三对角”型行列式....................................234.6范德蒙德行列式........................................255.行列式的计算方法的综合运用.............................265.1降阶法和递推法........................................275.2逐行相加减和套用范德蒙德行列式........................275.3构造法和套用范德蒙德行列式............................28小结......................................................29参考文献..................................................30学习体会与建议............................................311摘要：行列式是高等代数的一个基本概念，求解行列式是在高等代数的学习中遇到的基本问题，每一种复杂的高阶行列式都有其独特的求解方法．本文主要介绍了求行列式值的一些常用方法和一些特殊的行列式的求值方法．如：化三角形法、降阶法和数学归纳法等多种计算方法以及Vandermonde行列式、“两线型”行列式和“爪”字型行列式等多种特殊行列式．并对相应例题进行了分析和归纳，总结了与每种方法相适应的行列式的特征．关键词：行列式计算方法1．行列式的概念及性质1.1n阶行列式的定义我们知道，二、三阶行列式的定义如下：22211211aaaa=21122211aaaa，333231232221131211aaaaaaaaa.312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa从二、三阶行列式的内在规律引出n阶行列式的定义．设有2n个数，排成n行n列的数表nnnnnnaaaaaaaaa212222111211，即n阶行列式．这个行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积2n21njj2j1aaa⑴的代数和，这里n21jjj是n21，，，的一个排列,每一项⑴都按下列规则带有符号：当n21jjj是偶排列时,⑴带正号；当n21jjj是奇排列时,⑴带负号．即nnnnnnaaaaaaaaa212222111211=n21n21n21njj2j1jjjjjj1aaa，这里n21jjj表示对所有n级排列求和.1.2行列式的性质性质1行列互换，行列式不变．即nnaaaaaaaaaaaaaaaaaan2n1n22212n12111nnn2n12n22211n1211.性质2一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列式．即nnn2n1ini2i1n11211kkkaaaaaaaaaknnaaaaaaaaan2n1ini2i1n11211.性质3如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列3式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样．即11121111211112111221212121212.nnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaabcbcbcbbbcccaaaaaaaaa性质4如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那么行列式为零．即kaaakakakaaaaaaannnniniiiniin21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaa21212111211=0.性质5把一行的倍数加到另一行，行列式不变．即nnnnknkkkninkikinaaaaaacaacaacaaaaa2121221111211nnnnknkkiniinaaaaaaaaaaaa21212111211.性质6对换行列式中两行的位置，行列式反号.即4nnnnknkkiniinaaaaaaaaaaaa21212111211=-nnnniniiknkknaaaaaaaaaaaa21212111211.性质7行列式一行（或列）元素全为零，则行列式为零．即00000nn1-nn,n2n1n11-n,11211aaaaaaaa.2、行列式的几种常见计算技巧和方法2.1定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．例1计算行列式0004003002001000.解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有244！项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是43214321jjjjaaaa．显然，如果41j，那么011ja，5从而这个项就等于零．因此只须考虑41j的项，同理只须考虑1,2,3432jjj的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有41322314aaaa，而64321，所以此项取正号．故0004003002001000=241413223144321aaaa.2.2利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式．2.2.1化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：nnnnnaaaaaaaaaaaaa2211nn333223221131211000000，nnnnnnnaaaaaaaaaaaaa2211321333231222111000000.例2计算行列式nnnnbaaaaabaaaa21211211n111D.解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对6应相同，故用第一行的1倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形．解：将该行列式第一行的1倍分别加到第2,3…（1n）行上去，可得121n11210000D000nnnaaabbbbb.2.2.2连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．例3计算行列式mxxxxmxxxxmxDnnnn212121.解：mxxmxxmxmxxxmxnniinniinnii212121nDmxxxmxxxmxnnnnii22211117mmxxmxnnii0000121mxmniin11.2.2.3滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法．例4计算行列式2122123123122121321Dnnnnnnnnnnn.解：从最后一行开始每行减去上一行，有1111111111111111321Dnnn1111120022200021321nn0111100011000011132122nnn21211nnn.2.2.4逐行相加减对于有些行列式，虽然前n行的和全相同，但却为零．用连加法明显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法．8例5计算行列式111110000000000000D32211nnaaaaaaa.解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得：13210000000000000000D321nnaaaannnnaaanaaan21n21n2211111.2.3降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解．2.3.1按某一行（或列）展开例6解行列式1221n1000000000100001Daaaaaxxxxnnn.解：按最后一行展开，得nnnnnaxaxaxaD12211.2.3.2按拉普拉斯公式展开拉普拉斯定理如下：设在行列式D中任意选定了1-nk1k个9行.由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即nn2211AMAMAMD，其中iA是子式iM对应的代数余子式．即nnnnnnnnnnBABCA0，nnnnnnnnnnBABCA0.例7解行列式bbbaaaanD.解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加到第二列，