虚位移原理第二章.

第十四章虚位移原理（静力学问题）§14-1约束,虚位移和虚功§14-2虚位移原理1,学会给机构虚位移2,学会求虚功3,学会虚位移原理解题（几何法和解析法）在第一篇静力学中，我们从静力学公理出发，通过力系的简化，得出刚体的平衡条件，用来研究刚体及刚体系统的平衡问题。在这一章里，我们将介绍普遍适用于研究任意质点系的平衡问题的一个原理，它从位移和功的概念出发，得出任意质点系的平衡条件。该原理叫做虚位移原理。它是研究平衡问题的最一般的原理，不仅如此，将它与达朗伯原理相结合，就可得到一个解答动力学问题的动力学普遍方程。约束：约束方程：一定义§14-1约束,虚位移和虚功限制质点或质点系位置和运动的条件限制条件的数学方程二约束分类0),,(zyxf1,几何约束和运动约束限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束。0222lyx222ryxAA022BABABylyyxxsizyxzyxfnnni,,2,10,,,,,,111限制质点系运动情况的运动学条件称运动约束。0rvA0rxA2定常约束和非定常约束约束条件随时间变化的称非定常约束，否则称定常约束。2022tvlyx3其它分类约束方程中包含坐标对时间的导数，且不可能积分而不能表成有限形式的约束称非完整约束，否则为完整约束。约束方程是等式的，称双侧约束（或称固执约束）,约束方程为不等式的，称单侧约束（或称非固执单侧约束）。本章只讨论定常的双侧、完整、几何约束三虚位移和虚功M虚位移:在某一瞬时,质点系在约束允许的条件下,可能实现的任何无限小的位移.可以是线位移,也可以是角位移,用(变分符号)表示.虚位移非自由质点系:受到约束的质点系,运动不可能完全自由的.rlAAyxA,BByxB,xy只画关键点的虚位移xyolM(x，y)θ虚位移与实位移的关系:实位移除了与约束条件有关外,还与时间,主动力,及初始条件有关,而虚位移只与约束条件有关.在定常约束下,实位移是虚位移中的一个.在非定常约束下,实位移不一定是虚位移中的一个.真实位移和虚位移都满足位移投影定理。ABBABA)()((d)(d)AABBABrrABArdBrdABArBrABBABArr)()(trdd求机构上点A,B,C的虚位移之间的关系O’OABEDφO’OABEDφφArBrErDrBArrsinBEDrrr2比照力的功，我们定义力的虚功rFW虚功同虚位移一样，是假想的。Fr1,力是真实的，位移是虚位移2,真实的力在力的作用点的虚位移上做的功，是虚功。虚功MF的虚功求F,M的虚位移有力的点给关键点)(olθ例计算单摆重力的虚功解析法)cos(lmgWsinmgl几何法sinmglrgmWlrxyM(x，y)zFyFxFWzyxr352页思考题15-4如果约束反力在质点系的任何虚位移中的虚功之和等于零，则这种约束称为理想约束记为0iiNrNW理想约束的典型例子如下：1、光滑支承面0rNWN理想约束2、光滑铰链3、无重刚杆4、不可伸长的柔索0'rNrNWNPQ§14-2虚位移原理21QlPl受理想约束的杆在平衡力系作用下1l2lPQ0)(212121QlPllQlPrQrP给受理想约束的杆杆一个虚位移拉格朗日--意大利数学家，研究变分法,第一位提出虚位移原理。JosepbLouisLagrange（1736---1813）虚位移原理具有理想约束的质点系(整体机构)，平衡的必要与充分条件是：作用于质点系的所有主动力（真实主动力和非理想约束力）在任何虚位移上所作的虚功之和等于零。即0iiFrFWMF0iiFrFW1几何法(在图中调整正负号)2解析法((1),在方程中调整正负号(2)保证机构上点的坐标任意性)0)(iziiyiixizFyFxF虚位移原理对具有理想约束的质点系可直接求出主动力,而不必计算约束力,为人类节省多少华年,增添巨大方便。将约束解除，代之相应的约束反力，并视为主动力，又可求出约束力。多么灵活！对具有不理想约束的质点系,将不理想约束解除,使之成为具有理想约束的质点系,将不理想约束力视为主动力,又可应用虚位移原理。多么辩证！力学之金律一,求出主动力(具有理想或非理想约束的机构)二,求约束力(具有理想或非理想约束的结构)3，受力图（主动力，非理想约束，要求的一个约束力）解题类型解题步骤1，以受力系作用而平衡的质点系为研究对象4，用虚位移原理（几何法或解析法）求解未知量2，把质点系改变为具有理想约束的机构例图所示椭圆规机构中，连杆AB长为L，滑块Ａ，Ｂ与杆重均不计，忽略各处摩擦，机构在图示位置平衡。求：主动力之间的关系。BAFF与一,求出主动力(具有理想约束的机构)ArBr解：(1)用几何法,给机构虚位移,,BArr0iirF0BBAArFrFsincosABrr由代入虚位移原理,有cos/sin0ABBBFrFrtanBAFF(2)用解析法。在机构上建立坐标系,由0AABByFxFsin,coslylxABcossinlylxABtanBAFF0)(iziiyiixizFyFxF例如图所示机构，不计各构件自重与各处摩擦，求机构在图示位置平衡时，主动力偶矩Ｍ与主动力Ｆ之间的关系。由图中关系有sinearr2sin,sinhrrhOBraCe代入虚功方程得2sinFhM解：给虚位移cr,0cFrFMw几何法例滑套D套在光滑直杆AB上，并带动杆CD在铅直滑道上滑动。已知=0o时，弹簧等于原长，弹簧刚度系数为5(kN/m)，求在任意位置（角）平衡时，加在AB杆上的力偶矩M？(354页15-7)二,求出主动力(具有非理想约束的机构)解:以去掉弹簧后的整体机构为研究对象。'FF(kN)sec151msec130cos300600,mm300300600,0000||.|ll|kFF)(||.|ll|l)(l角时时由虚位移原理，得：0sFM)mkN(cos)cos1(sin45.03M'FFtansec30s.根据点的合成运动(kN)sec151||.FF三求约束力(具有理想或非理想约束的结构)1,去掉原结构要求的一个约束,代之以约束力,这样把结构变为机构(一个自由度),再把机构改变为具有理想约束的机构;3,以此类推，直至求出所有要求的约束力.2,给机构(理想约束)一个虚位移,用虚位移定理求这个未知的主动力即约束力.例多跨静定梁，求支座B处反力。解：将支座B除去，代入相应的约束反力。BR除某一约束代之相应的约束反力，并视为主动力.0211mrPrRrPCBB0iirF96118111211121614,811,211BCBEBGBBCBrrrrrrrrrrr而mPPRB961181121210211mrPrRrPCBB练习:多跨静定梁,求支座B处反力.支座D,F处反力求铰A的约束力CMFABAxFMFABCllArDrCr1,求铰A的约束力FAx0iirF0DAAxrFMrF252lrlrCAlrA2lrlrDC25lMFFAx22练习求FAy例平面桁架ABCD，在节点D受载荷P作用，lDCADlACBCAB22,求杆BD的内力。ABCDP杆BD的内力是约解：束力，为求之，应将BC杆的作用以力S，S代替，并视为主动力。’令CADCAB,0)('DByPSyS以固定点A为原点建立坐标A-xyABCDPss’θβyx0)(iziiyiixizFyFxF0)sin22()()sin('lPSlSABCDPss’θβyx两蓝式连立，并将45,60代入PPS366.2333求得杆BD的内力由B和D的横坐标相等cos22cosll寻求虚位移关系,sin22sin变分解析法要求坐标的一般性lGEDGCBCDCEAC例图中所示结构，各杆自重不计，在Ｇ点作用一铅直向上的力Ｆ，求：支座Ｂ的水平约束力。解:解除B端水平约束,以力代替,如图(b)BxFcos3,sin2sin3,cos20lylxlylxyFxFWGBGBGBBxF带入虚功方程0cos3sin2lFlFBxcotFFBx230)(iziiyiixizFyFxF如图在CG间加一弹簧，刚度K，且已有伸长量，仍求。0BxF在弹簧处也代之以力，如图，其中000GGGCCBBxFGCyFyFyFxFWkFFcos3cos,sin2sin3,sin,cos2lylylxlylylxGCBGCB0cos3cos3cossin2(00lFlklklFBxcotcot230kFFBx练习:求1，2杆的内力FFaaaaa06012FF2F2F1r3r2r45FF2F2F43r41r4r5r水平水平25rr45rr0iirF0422241rFrFrFrF030cos4022241rFrFrFrFaarr32102F同学：1，虚位移定理的几何法与解析法的步骤分别是什么？如果机构稳定和特殊，一般用解析法（坐标一般性），其他用几何法。解1：研究曲柄连杆机构的平衡，在理想约束下，据虚位移原理：oABφφPQ0cosBArQrP290AB两点虚位移关系：cos)290cos(BArrctgPQ2解得曲柄连杆机构如图，OA=AB=L，处在平衡状态，不计摩擦，求主动力P和Q的关系。例几何法0BArQrPArBr0iirFctgPQ2解得0AByPxQ有0)sin()cos2(lPlQ0cossin2PlQl变分之解2:研究曲柄连杆机构的平衡以固定点O为原点建立坐标O—xyoABφφPQxy解析法0)(iziiyiixizFyFxFoABCDθθθMPall练习求平衡时，与的关系。MP0iirF几何法据虚位移原理0DArParM虚位移关系2coscosBArr)290cos(cosBDrr2ctgaMPoABCDθθθArBrDrM290P→解得已知：P,Q,BD=DO=1l,AD=2l求主动力P和Q的关系。以固定点O为原点建立坐标O—xyφxyoBφφPQDA0)(iziiyiixizFyFxF)coscos(sin)cos2(211llPlQ0sin)(cos21llP2112cossin2lllQP解得oBφφPQDAxysinsin0BAAQxPxPyNpp例螺旋压榨机在手柄上作用一个力偶,其矩pl2，螺杆的螺距为h，求平衡时对被压物体的压力。02rNpl解：取手