第3章力矩与平面力偶系(工程力学西南交大4学分)

SouthwestJiaotongUniversity第3章力矩与平面力偶系•西南交通大学力学与工程学院工程力学电子教案——SouthwestJiaotongUniversity主要内容1关于力矩的概念及其计算2关于力偶的概念3平面力偶系的合成与平衡SouthwestJiaotongUniversity第3章力矩与平面力偶系§3.1关于力矩的概念及其计算力对物体作用的外效应•移动（平动）——力的大小和方向来度量•转动——力矩来度量SouthwestJiaotongUniversity第3章力矩与平面力偶系§3.1关于力矩的概念及其计算平面问题中力对点之矩作用于A点的力F使物体绕点O转动的效应，不仅与力F的大小有关，还与点O到力的作用线的垂直距离d有关，故力F的转动效应用乘积Fd来度量。乘积Fd并根据转动效应的转向取适当的正负号称为力F对点O之矩，简称力矩，以符号MO(F)表示。()OMFFd•O为力矩中心，简称矩心；•点O到力F作用线的距离d，称为力臂；•正负号规定：力使物体绕矩心逆时针方向转动为正，反之为负。•在平面问题中，力对点之矩只取决于力矩的大小及其正负，它是一个代数量。•力矩的单位是N.m或kN.mOAFdBF对点O之矩的大小也可用三角形OAB的面积的2倍来表示，即，()2OOABMFASouthwestJiaotongUniversity第3章力矩与平面力偶系§3.1关于力矩的概念及其计算力矩的性质•力对任意已知点之矩，不会因该力沿作用线移动而改变；•力的作用线如通过矩心，则力矩为零；反之，如果一个力其大小不为零，而它对某点之矩为零，则此力的作用线必过该点；•互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和为零。OdFBA()OMFFdFdFSouthwestJiaotongUniversity第3章力矩与平面力偶系§3.1关于力矩的概念及其计算合力矩定理求作用于A点处的力F对点O之力矩。OxydxyFFxFyAr()sin()OMFFdFr解：(sincossincos)Fr(sin)(cos)(cos)(sin)FrFrFyxFxy()ORyxMFxFyF若作用于A点的是一个汇交力系（F1,F2,…,Fn)，则有：()OyxMFxFyFSouthwestJiaotongUniversity第3章力矩与平面力偶系§3.1关于力矩的概念及其计算平面汇交力系的合力矩定理：平面汇交力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各分力对于同一点之矩的代数和。解：扳手上受力F作用F=200N,a=30°,OA=20cm，计算该力对螺母O之矩。()()OROiMFMFFOAdDaxy()cos2000.2cos3034.64OMFFdFOAaNm根据合力矩定理，还可以将F分解到如图所示x,y方向分别计算其对O点力矩，在求和得F对O点之矩。SouthwestJiaotongUniversity主要内容1关于力矩的概念及其计算2关于力偶的概念3平面力偶系的合成与平衡SouthwestJiaotongUniversity第3章力矩与平面力偶系§3.2关于力偶的概念力偶•大小相等，方向相反，作用线平行而不重合的两个力。记作（F,F’）•力偶中两个力作用线之间的垂直距离称为力偶臂，力偶所在的平面称为力偶作用面。转动游戏方向盘拧水龙头扳手拧螺母FFdFFdFFdSouthwestJiaotongUniversity第3章力矩与平面力偶系§3.2关于力偶的概念力偶的性质•力偶在任何坐标轴上的投影等于零；•力偶不能合成为一个力，或者说力偶没有合力，即它不能与一个力等效，因而也不能被一个力平衡；力偶是一种最简单的特殊力系；•力偶对物体不产生移动效应，只产生转动效应，即它可以而且也只能改变物体的转动状态。既然力偶在任何坐标轴上的投影等于零，那它的合力也等于零。这种说法对不对？不对，在任何坐标轴上投影为零的力系合力为零是针对平面汇交力系。SouthwestJiaotongUniversity第3章力矩与平面力偶系§3.2关于力偶的概念力偶矩•力偶对物体转动效应的度量；在平面力系中是代数量；用M(F,F’)或M表示。•力偶矩的大小，可用以力偶中任意一个力为底边而以另一个力作用线上任意点为顶点的三角形的面积的2倍来表示。dFMdFFFM或),(•正负号表示力偶的转动方向，逆时针方向为正，反之为负。FFdOxABCABCAFFM2),(SouthwestJiaotongUniversity第3章力矩与平面力偶系§3.2关于力偶的概念力偶矩•力偶对作用面内任一点之矩的大小恒等于力偶中一力的大小和力偶臂的乘积，与矩心的位置无关。FFdOxABC力偶的三要素力偶矩的大小；力偶的转向；力偶的作用面。SouthwestJiaotongUniversity第3章力矩与平面力偶系§3.2关于力偶的概念同一平面内力偶的等效定理在同一平面内的两个力偶，如果他们力偶矩大小相等，而且转向相同，则此两力偶等效。证明：(1)根据加减平衡力系公理，对受力偶(F,F’)作用的刚体增加一对平衡力(Q,Q’)，不改变刚体的作用效应，则有(F,F’)=(F,F’,Q,Q’)。(2)由力F,Q求得合力P，由力F’,Q’，从而有(F,F’,Q,Q’)=(P,P’)。PP1P1′P′FF′Q′QA′B′AB(3)将力P和P’沿各自的作用线移至任意点A’，B’，根据力的可传性原理，有(P,P’)=(P1,P1’)。SouthwestJiaotongUniversity第3章力矩与平面力偶系§3.2关于力偶的概念(4)PP1P1′P′FF′Q′QA′B′ABbCD(,)2,ABDMFFABBDA(,)2,ABCMPPBCABA显然，ABDABCAA并注意到力偶矩的转向也相同，则有(,)(,)MFFMPP11(,)(,)MPPMPP显然，从而有，11(,)(,)MFFMPP只要保证力偶矩的代数值不变，一个力偶就可以用同一平面内的另一个力偶代替而不改变它对刚体的转动效应。SouthwestJiaotongUniversity第3章力矩与平面力偶系§3.2关于力偶的概念两个重要的推论•力偶可以在其作用面内任意转移而不改变它对刚体的转动效应。力偶矩是度量力偶转动效应的量，而力偶矩的大小与矩心位置无关。FFdOx•在保持力偶矩的大小和转向不变的条件下，可以任意改变力偶中力和力偶臂的大小而不改变力偶对刚体的转动效应。力偶对物体的转动效应是由力偶矩来度量的，力偶矩由力和力臂的乘积决定，而非由其中一个决定。SouthwestJiaotongUniversity第3章力矩与平面力偶系SouthwestJiaotongUniversity第3章力矩与平面力偶系§3.3平面力偶系的合成与平衡一力偶(,)作用在平面Oxy内，另一力偶(,)作用在平面Oyz内，他们的力偶矩大小相等。试问此两力偶是否等效？为什么？1F1F2F2F力偶等效，同一平面内力偶等效，同一平面内1F1F2F2FxyzOSouthwestJiaotongUniversity主要内容1关于力矩的概念及其计算2关于力偶的概念3平面力偶系的合成与平衡SouthwestJiaotongUniversity第3章力矩与平面力偶系§3.3平面力偶系的合成与平衡平面力偶系：物体上作用的若干力偶的作用面在同一平面内。平面力偶系合成的结果是一个力偶，合力偶矩等于力偶系中所有各力偶矩的代数和。合成在平面力偶系中，力偶矩是代数量，力偶的合成即是代数量相加。12RniMMMMM……SouthwestJiaotongUniversity第3章力矩与平面力偶系§3.3平面力偶系的合成与平衡两个力偶的情况：=F1′F1d1d2F2′F2F11′F22′F22F11ddFR′FR222111,dFMdFMdFMdFM222111,=2211R2211R,FFFFFF得到合力偶(FR,F′R)M=FRd=(F11-F22)d=F11d-F22d=M1+M2有多个力偶的情况与此类似。SouthwestJiaotongUniversity第3章力矩与平面力偶系§3.3平面力偶系的合成与平衡平面力偶系合成的结果是一个力偶，合力偶矩等于力偶系中所有各力偶矩的代数和。平衡平面力偶系平衡的充分必要条件是：力偶系中所有各力偶矩的代数和等于零。0iM利用这个平衡条件，可以求解一个未知量。SouthwestJiaotongUniversity第3章力矩与平面力偶系§3.3平面力偶系的合成与平衡如图所示，在物体上作用有两力偶(,)和(,)，其力多边形封闭。请问该物体是否平衡？为什么？1F1F2F2F1F1F2F2F1F1F2F2F力多边形，汇交力系力多边形，汇交力系SouthwestJiaotongUniversity第3章力矩与平面力偶系§3.3平面力偶系的合成与平衡如图所示的铰接连杆机构OABD，在杆OA和BD上分别作用着矩为M1和M2的力偶，而使机构在图示位置处于平衡。已知OA=r，DB=2r，θ=30°，不计各杆自重，试求M1和M2间的关系。解：容易看出AB杆为二力构件，其反力FAB和FBA只能沿A，B的连线方向。BODM1M2AABABFBAFSouthwestJiaotongUniversity第3章力矩与平面力偶系§3.3平面力偶系的合成与平衡分别取杆OA和DB为研究对象。因为力偶只能与力偶平衡，所以支座O和D的约束力FO和FD只能分别平行于FAB和FBA，且与其方向相反。OAABFOF1MBDBAFDF2M分别对杆OA和DB建立平衡方程：ABBAFF212MM1cos0ABMFr22cos0BAMFr1cos0ABMFOA2cos0BAMFBD即：SouthwestJiaotongUniversity第3章力矩与平面力偶系§3.3平面力偶系的合成与平衡图示三铰架上作用一力偶矩为M的力偶，则支座B的约束反力方向应为？MABCSouthwestJiaotongUniversity第3章力矩与平面力偶系比较：比较：使物体沿力的作用使物体沿力的作用线线移动移动。。使物体在其作用平面使物体在其作用平面内内转动转动。。力力力偶力偶力是矢量力是矢量（滑移矢）（滑移矢）平面力偶是代数量平面力偶是代数量共点力系可合成为共点力系可合成为一个一个合力合力。。平面力偶系可合成平面力偶系可合成为一个为一个合力偶合力偶。。合力偶定理合力偶定理::MM==MMii合力投影定理合力投影定理有有：：FFRRxx==FF11xx++FF22xx++……++FFnnxx==FFxxFFRRyy==FF11yy++FF22yy++……++FFnnyy==FFyy返回主目录返回主目录SouthwestJiaotongUniversity第3章力矩与平面力偶系例例球球GG11、、GG22置于墙和板置于墙和板ABAB间，间，BCBC为绳索。为绳索。画受力图。画受力图。注意注意FFKK与与FFKK、、FFEE与与FFEE……间作用力与反作用力关系。间作用力与反作用力关系。还要注意，部分受力图中反力必须与整体受力图一致。还要注意，部分受力图中反力必须与整体受力图一致。未解除约束处的系统内力，不画出。未解除约束处的系统内力，不画出。GG11(b)(c)G2G2GG11AB(d)(e)ABG2GG11ABC(a)GG11G2DEHKFFAAxxFFAAyyFFTTFFDDFFKKFFDDFFEEFFDDFFHHFFEEFFKKFFHHFFDDFFAAxxFFAAyyFFTTFFAAxxFFAAyyFFHHFFEEFFTTSouthwestJiaotongUniversity第3章力矩