双曲线的标准方程

双曲线的标准方程（第一课时）（一）教学目标掌握双曲线的定义，会推导双曲线的标准方程，能根据条件求简单的双曲线标准方程．（二）教学教程【复习提问】由一位学生口答，教师板书．问题1：椭圆的第一定义是什么？问题2：椭圆的标准方程是怎样的？【新知探索】1．双曲线的概念如果把上述定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？它的方程双是怎样的呢？（1）演示如图，定点、是两个按钉，是一个细套管，点移动时，是常数，这样就画出双曲线的一支，由是同一个常数，可以画出双曲线的另一支．这样作出的曲线就叫做双曲线．（2）设问①定点、与动点不在同一平面内，能否得到双曲线？请学生回答，不能．指出必须“在平面内”．②到与两点的距离的差有什么关系？请学生回答，到与的距离的差的绝对值相等，否则只表示双曲线的一支，即是一个常数．③这个常是否会大于或等？请学生回答，应小于且大于零．当常数时，轨迹是以、为端点的两条射线；当常数时，无轨迹．（3）定义在此基础上，引导学生概括出双曲线的定义：平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程现在我们可以用类似求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程，请学生思考、回忆椭圆标准方程的推导方法，随即引导学生给出双曲线标准方程的推导．（1）建系设点取过焦点、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立在直角坐标系（如图）．设为双曲线上任意一点，双曲线的焦距为，则、，又设点与、的距离的差的绝对值等于常数．（2）点的焦合由定义可知，双曲线上点的集合是（3）代数方程（4）化简方程由一位学生演板，教师巡视，将上述方程化为移项两边平方后整理得：两边再平方后整理得：由双曲线定义知即，∴，设代入上式整理得：这个方程叫做双曲线的标准方程．它所表示的双曲线的焦点在轴上，焦点是、，这里．如果双曲线的焦点在轴上，即焦点，，可以得到方程这个方程也是双曲线的标准方程．教师应当指出：（1）双曲线的标准方程与其定义可联系起来记忆，定义中有“差”，则方程“－”号连接，（2）双曲线方程中，，但不一定大于；（3）如果的系数是正的，那么焦点在轴上，如果的系数是正的，那么焦点在轴上，有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点的位置；（4）双曲线标准方程中、、的关系是，不同于椭圆方程中．【例题分析】例1说明：椭圆与双曲线的焦点相同．由一位学生板演完成，答案都是．例2已知两点、，求与它们的距离的差的绝对值为6的点的轨迹方程．如果把上面的6改为12，其他条件不变，会出现什么情况？由教师讲解解：按定义，所求点的轨迹是以、为焦点的双曲线．这里，，∴故所求双曲线的方程为若，则且，所以动点无轨迹．（三）随堂练习1．求适合下列条件的双曲线的标准方程．（1），；（2）焦点（0，－6），（0，6），经过点（2，－5）．2．已知方程，求它的焦点坐标．3．已知方程表示双曲线，求的取值范围．答案：1．（1）或；（2）；2．；3．或（四）总结提炼1．双曲线定义（，为定点，为常数）图形标准方程焦点坐标，，，，关系2．双曲线的标准方程可统一写成．若，表示焦点在轴上的双曲线，若，则表示焦点在轴上的双曲线．（五）布置作业1．已知平面上定点、及动点，命题甲：“（为常数）”，命题乙：“点轨迹是、为焦点的双曲线”，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．已知，，，当和5时，点的轨迹为（）A．双曲线和一条直线B．双曲线和二条射线C．双曲线一支和一条直线D．双曲线一支和一条射线3．双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于1，则点到另一焦点的距离等于___________；若到它的一个焦点的距离等于17，则点到另一焦点的距离等_____________．4．如果椭圆与双曲线的焦点相同，那么．5．已知方程（1）为何值时方程表示双曲线；（2）证明这些双曲线有共同焦点．6．已知双曲线的一个焦点坐标为，双曲线上一点到两焦点距离之差的绝对值为24，求双曲线的标准方程．答案：1．B；2．D；3．17，1或33；4．1；5．，当时，方程表示双曲线．方程可表示为，焦点坐标为（0，±1）．6．．（六）板书设计8.3双曲线及其标准方程（一）（一）复习提问问题1问题2（二）双曲线的概念1演示2设问3定义（三）双曲线的标准方程1．标准方程的推导2．说明（四）例题与练习例1例2练习（五）小结