质点平动与刚体定轴转动规律的比较

质点平动与刚体定轴转动规律的比较张晓丹（北京印刷学院机械二班）摘要：在高中物理中，主要对质点平动的规律进行了学习，在大学物理中，相对于质点，有刚体的概念，相对于平动，有转动的概念，本文从公式形式的角度，对质点平动和刚体定轴转动的规律进行了比较，分析了两者的区别与联系，以便在今后的学习中更熟练的应用。关键字：质点；平动；刚体；转动；比较质点是指只考虑质量而不考虑其大小形状的一个理想物理模型，再加上平动的运动方式，这就构成了我们打高中物理学；大学我们接触了刚体，刚体是实际固体的理想模型，我们认为他在运动过程中，无论是否受到外力，其形状始终保持不变，物体内任意两点间的距离都不改变，显然这也是个理想物理模型，如果物体本身的形变不影响整个运动过程，那么该物体就可以当作刚体来处理。刚体力学是质点动力学在实际固体中的推广，是在实际生活中更具价值的研究方法。由于刚体可以看作是无数个质点的集合，因此刚体运动与质点运动的规律也非常相似：对于刚体平动，若不考虑外形，他的规律与质点的规律相同，因此不再赘述；而对于刚体定轴转动，他与质点平动就有了可比性，以下从三个方面来做两者间的对比。一运动学表1.质点平动与刚体定轴转动的运动学公式比较物理量质点平动物理量刚体定轴转动关系位移⃗⃗∫⃗()角位移𝜃𝜃∫𝜔()𝑠𝑅𝜃速度⃗⃗角速度𝜔𝜃𝑅𝜔加速度𝑎⃗⃗角加速度𝛼𝜔𝑎𝑅𝛼…………………………如表1所示，在质点平动规律中的位移、速度、加速度等物理量，放在刚体定轴转动中，变成了角位移、角速度、角加速度，相应的字母也换作𝜃、𝜔和𝛼。除了名称的变化以外，由于刚体在定轴转动过程中，我们通常采用自然坐标系，所以𝜃、𝜔和𝛼的方向只有两个，我们通过右手螺旋定则定义：刚体逆时针转动时，𝜔与𝑧轴方向一致，符号为正，反之则为负，相比质点平动简化了许多，与高中所学的质点圆周运动的规律没有太大差别。二力学在刚体定轴转动的学习之初，是由几个角量引入的，表1列出了运动学中的几个角量，在力学中最先引入了力矩的概念，对于质点，定义力矩𝑀⃗⃗⃗⃗×𝐹⃗，视刚体为无数个质点的集合，那么对于刚体：𝑀∑𝑖×𝐹𝑖∑𝑖×𝑚𝑖𝑖𝛼∑𝑚𝑖𝑖2𝛼定义一个新的物理量：转动惯量𝐽∑𝑚𝑖𝑖2∫2𝑚,则原公式可化为𝑀𝐽𝛼,转动惯量可以看作刚体中每个质点的惯性质量𝑚的集合，用来衡量刚体绕定轴转动起来时具有的惯性大小，他与刚体的形状、质量分布等有关。而公式𝑀𝐽𝛼与牛顿第二定律𝐹𝑚𝑎是非常相似的，后者适用于质点平动，而前者适用于刚体定轴转动，可以理解为牛顿第二定律在刚体定轴转动中的扩展延伸。力对应的角量是力矩，动量对应的角量则为动量矩，但我们通常把动量矩叫做角动量，这使我们在最初接触角量时有些迷惑。对应力矩的概念，角动量𝐿⃗⃗⃗×𝑝⃗,在刚体中，公式则变为𝐿𝐽𝜔,同样地，可以与质点平动中的𝑝𝑚类比。由角量引出刚体定轴转动之后，我们可以将质点平动中的熟悉的力、动量、冲量等物理量移植到刚体定轴转动中，得到力矩、角动量、冲量矩，等新的物理量，他们之间的关系如表2所示：表2.质点平动与刚体定轴转动的力学公式比较物理量质点平动物理量刚体定轴转动关系力𝐹⃗𝑝⃗𝐹⃗𝑚𝑎⃗力矩𝑀⃗⃗⃗𝐿⃗⃗(𝐽𝜔⃗⃗⃗)𝑀⃗⃗⃗𝐽𝛼⃗𝑀⃗⃗⃗⃗×𝐹⃗动量𝑝⃗∫𝐹⃗𝑝⃗𝑚⃗角动量（动量矩）𝐿⃗⃗∫𝑀⃗⃗⃗𝐿⃗⃗𝐽𝜔⃗⃗⃗𝐿⃗⃗⃗×𝐹⃗冲量𝐼⃗∫𝐹⃗𝑡2𝑡1𝑝⃗2−𝑝⃗1冲量矩∫𝑀⃗⃗⃗𝑡2𝑡1𝐿⃗⃗2−𝐿⃗⃗1…………………………与力、动量和冲量之间的关系类似，角动量是力矩在时间上的积累效应，是一个状态量，而冲量矩是角动量在一定时间内的增量，是一个过程量。在形式上，对力矩进行不定积分得到角动量的表达式，而在一段时间内的定积分则得到冲量矩。这一部分的内容与质点平动的内容也非常相似，但由于质点平动中的动量和冲量也是大学物理中的新内容，大部分的同学都表示这一部分的学习非常吃力。三功能关系表3.质点平动与刚体定轴转动的功能关系公式比较名称质点平动名称刚体定轴转动功∫𝐹⃗𝑠⃗21功∫𝑀⃗⃗⃗𝜃⃗𝜃2𝜃1功率𝑃⃗⃗𝐹⃗⃗能𝑃⃗⃗𝑀⃗⃗⃗𝜔⃗⃗⃗动能𝐸𝑘12𝑚2动能𝐸𝑘12𝐽𝜔2质点动量定理𝐼⃗∫𝐹⃗𝑡2𝑡1𝑚⃗2−𝑚⃗1角动量定理∫𝑀⃗⃗⃗𝑡2𝑡1𝐽𝜔⃗⃗⃗2−𝐽𝜔⃗⃗⃗1质点动能定理12𝑚22−12𝑚12刚体转动动能定理12𝐽𝜔22−12𝐽𝜔12………………功能关系这一部分相对比较简单，其中动量定理实际上就是表2中提到的冲量和冲量矩的表达式。除表中提到的功能关系以外，还有动量守恒定律和角动量守恒定律，表述为当系统（刚体）所受合外力𝐹（合外力矩𝑀）为零时，系统的总动量𝑝（总角动量𝐿）保持不变。刚体定轴转动与质点平动的规律非常相似，只是因为刚体是无数质点的集合，而又是定轴转动，所以相关的物理量均要把每个质点与它到定轴的距离联系起来，然后取它们的集合。上文分的三个部分中，运动学公式中的圆周运动规律在高中物理中已经学习过，所以学习压力不大，高中时也学习过质点平动的功能关系，所以刚体绕定轴转动的功能关系学习也不会太吃力，但是第二个部分力学公式，对大部分同学来说，除了力在高中物理中学习过以外，其他物理量都是全新的，新多出五个物理量，而且他们之间的联系又很多，对于初学者来说非常容易弄混淆，而老师在课堂上又很少讲两套体系拿出来做系统的比较，我们很多同学都表示这一部分的内容太难了，很难在短时间内消化这么多的内容，希望老师在以后的学习中多关注些同学们的迷惑点，在课堂上多讲解，多给同学们总结归纳。参考文献：[1]陈柯.质点直线运动与刚体定轴转动的对比学习[J].高师理科学刊，2013，33（4）：80-83.