数列复习(公开课精华)

数列通项an等差数列前n项和Sn等比数列定义通项前n项和性质)2()1(11nSSnSannn知识结构qaann1dnaan)1(111nnqaadmnaamn)(mnmnqaa2)(baAabG22)1(2)(11dnnnaaanSnn1111)1(111qnaqqqaaqqaSnnnm+n=p+qnmpqaaaanmpqaaaamnpq2m+n2nmpaaap22nmpaaamnp一、知识回顾daann1kkkkkSSSSS232,,kkkkkSSSSS232,,仍成等差仍成等比1211nSnSSannn等差数列等比数列定义通项通项推广中项性质求和公式关系式nnSa、适用所有数列牛刀小试•⒈在等差数列{an}中，a2=-2,a5=54，求a8=_____.•⒉在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=450，则a2+a8的值为_________.•⒊在等差数列{an}中，a15=10,a45=90,则a60=__________.••⒋在等差数列{an}中，a1+a2=30,a3+a4=120,则a5+a6=_____.110运用性质：an=am+(n-m)d或等差中项运用性质：若n+m=p+q则am+an=ap+aq运用性质：从原数列中取出偶数项组成的新数列公差为2d.(可推广)运用性质：若{an}是公差为d的等差数列{cn}是公差为d′的等差数列，则数列{an+cn}是公差为d+d′的等差数列。180130210kk•⒈在等比数列{an}中，a2=-2,a5=54，a8=.•⒉在等比数列{an}中，且an＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=36,那么a3+a5=_.•⒊在等比数列{an}中，a15=10,a45=90,则a60=__________.•⒋在等比数列{an}中，a1+a2=30,a3+a4=120,则a5+a6=_____.-14586270480或-270牛刀小试练习：两个等差数列{na}、{nb}的前n项之和分别为,,/nnSS且7253/nnSSnn，则_______1515ba。解:2)(,2)(1/1nnnnbbnSaanS∴nnbbaa117253nn令,29n则有：6582291291bbaa而1515291291babbaa∴1515ba6582Ⅰ、等差、等比数列的设法及应用1.三个数成等差数列可设为daadadadaa,,;2,,或者，yyxx,2,aqaqa,,2.三个数成等比数列，则这三个数可设为，也可以设为.,,2aqaqa例1(1).已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数.析：设这三个数为dxxdx,,则83)()(15)()(222dxxdxdxxdx∴所求三个数分别为3，5，7解得x＝5，d＝或7，5，3.±2.二、知识应用根据具体问题的不同特点而选择不同设法。例1(2)：互不相等的三个数之积为，这三个数适当排列后可成为等比数列也可排成等差数列，求这三数排成的等差数列.8设这三个数为，则aqaqa,,8aqaqa即：283aa（1）若qq2,22是的等差中项，则422qq即：0122qq1q与已知三数不等矛盾（2）若qq2,22为的等差中项，则qq211即：0122qq21q三个数为2,1,44,1,2或（3）若2,22qq为的等差中项，则qq21即：022qq2q三个数为2,1,44,1,2或综上：这三数排成的等差数列为:4,1,22,1,4或Ⅱ、运用等差、等比数列的性质例2（1）已知等差数列满足，则()}{na010121aaa0A.1011aa0B.1002aa51D.51a0C.993aa130A.170B.210C.260D.（3）已知在等差数列{an}的前n项中，前四项之和为21，后四项之和为67，前n项之和为286，试求数列的项数n.214321aaaa析：67321nnnnaaaa2862)(1nnaanS22467211naaC（2）已知等差数列前项和为30，前项和为100，则前项和为()}{namm2m3C26n考题剖析已知{an}为等差数列，a2+a8=12，,则a5等于（）(A)4(B)5(C)6(D)7解：由已知，由等差数列的性质，有a2+a8=2a5，所以，a5＝6，选（C）。［点评］本题直接利用等差数列的性质，由等差中项可得，属容易题。例3.等差数列｛an｝中,a10,S9=S12,该数列前多少项的和最小?分析:如果等差数列｛an｝由负数递增到正数，或者由正数递减到负数，那么前n项和Sn有如下性质：100nnnaSa是最小值１．当a1＜0,d＞0时,２．当a1＞0,d＜0时,100nnnaSa是最大值思路1：寻求通项∴n取10或11时Sn取最小值111199(91)1212(121)22adad1110da即：da30311011)10)(1(111naanaan010a易知011a012a由于01aⅢ、等差数列的最值问题例３.等差数列｛an｝中,a10,S9=S12,该数列前多少项的和最小?分析:等差数列｛an｝的通项an是关于n的一次式,前项和Sn是关于n的二次式(缺常数项).求等差数列的前n项和Sn的最大最小值可用解决二次函数的最值问题的方法.思路2：从函数的角度来分析数列问题.设等差数列｛an｝的公差为d,则由题意得:111199(91)1212(121)22adad110ad111(1)10(1)22nSnannddnnnd∵a10,∴d0,∵d0,∴Sn有最小值.又∵n∈N*,∴n=10或n=11时,Sn取最小值即：da3031212122dndn222121()228dnd例3.等差数列｛an｝中,a10,S9=S12,该数列前多少项和最小?分析:数列的图象是一群孤立的点,数列前n项和Sn的图象也是一群孤立的点.此题等差数列前n项和Sn的图象是在抛物线上一群孤立的点.求Sn的最大最小值即要求距离对称轴最近的正整数n.因为S9=S12,又S1=a10,所以Sn的图象所在的抛物线的对称轴为直线n=(9+12)÷2=10.5,所以Sn有最小值∴数列｛an｝的前10项或前11项和最小nSnon=2ba10.5类比:二次函数f(x),若f(9)=f(12),则函数f(x)图象的对称轴为直线x=(9+12)÷2=10.5若f(x+2)=f(2-x),则函数f(x)图象的对称轴为直线x=2思路3：函数图像、数形结合令2nSAnBn故开口向上过原点抛物线设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为，则由题意得q(2)47)21((1)2)1(2qdqd21,3qd23nan121nnb解析：121)23(nnnnnbac通项特征：由等差数列通项与等比数列通项相乘而得求和方法：错位相减法——错项法例4已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，又a1＝b1(1)求数列{an}及数列{bn}的通项公式；(2)设cn=anbn求数列{cn}的前n项和Sn47＝1，a2b2＝2，a3b3=．Ⅳ、等差、等比数列的综合应用解析：121021)23(217214211nnnSnnnS21)23(21721421121321两式相减：nnnnnnnS223211)211(213121)23(2132132131211121113326642(4)82222nnnnnnnS错位相减法121)23(nnnnnbacnnccccS321221)53(nn21)53(1nn常见的求和公式123(1)2nnSnn22221123(1)(21)6nSnnnn333321123[(1)]2nSnnn专题一：一般数列求和法①倒序相加法求和，如an=3n+1②错项相减法求和，如an=(2n-1)2n③分组法求和，如an=2n+3n④裂项相加法求和，如an=1/n(n+1)⑤公式法求和，如an=2n2-5n专题一：一般数列求和法一、倒序相加法解：例1:()(1)1,1231999()()()...().2000200020002000fxfxffff已知求的值12100019981999()()()()()2000200020002000200019991998100021()()()()()200020002000200020001199921998()()()()200020002000200019991()(2000200SfffffSfffffSSffffff)01199919992S二、错位相减法23,3,5(21)(0)naaanaan例2、求数列，的前项和2335(21)nnSaaana①解：1,a当时132)12()...(2)1(nnnanaaaaSa2112(1)(1)(21)1nnnaaaSanaaaanaaaaSnnn1)12()1(212122125311nnSan时，当234135...(23)(21)nnnaSaaanana②22112(1)2(21)(1)(1)1nnnnaSaaanaaaa“错位相减法”求和,常应用于形如{anbn}的数列求和,其中{an}为等差数列,{bn}为等比数列,{bn}的公比为q，则可借助转化为等比数列的求和问题。nnSqS233411222nnnS练习:求和233411(1)23411222113411222222332nnnnnnnnnannSnSnS解①②三、分组求和2{}1,{}nnnaannan例3、已知数列的通项公式为求数列的前项和21nann解：2222(111)(221)(331)(1)nSnn2222(123)(123)1nnn(1)(21)(1)62nnnnnn2(1)(2)(31)33nnnnnnn把数列的每一项分成几项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成几部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法.练习：求和2222222212345699100S22222222(21)(43)(65)(10099)S解：(21)(21)(43)(43)(10099)(10099)371119950(3199)50502四、裂项相消求和法1111335(21)(21)nSnn例4.求和111:()22121111111(1)2335212111(1)22121nnannSnnnnn解常用列项技巧：111(1)(1)nnnn1111()knnkn(n+k)