计算方法2011秋A卷

武汉大学2011-2012学年第一学期考试试卷《计算方法》（A卷）（36学时）学院：学号：姓名：得分：1、（14分）已知方程02xex有一个正根及一个负根，（1）估计出含根的区间；（2）分别讨论用迭代格式21nxnex求这两个根时的收敛性；（3）写出牛顿迭代格式。为使牛顿迭代格式求正根时收敛，讨论初值0x应如何取？2、（10分）用杜利特尔（Doolittle）分解算法求解方程bAx，其中976034112A34156b3、（12分）设方程组123122211112217xxx轾轾轾-犏犏犏犏犏犏=犏犏犏犏犏犏臌臌臌（1）分别写出Jacobi迭代格式及超松弛迭代格式；（2）证明Jacobi迭代格式是收敛的。4、（12分）已知数据xi1234yi2101求形如6sin2xbaxy的拟合曲线。5、（10分）给定)(xfy的一组值xi1.01.21.41.61.82.02.22.42.6f(xi)-101-10-1121分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算6.20.1)(dxxf6、（10分）试确定常数A，B及c（0c），使求积公式22()()()fxdxAfcBfc-?+ò有尽可能高的代数精度，并指出代数精度是多少，该公式是否为高斯型求积公式？7、（10分）用改进的欧拉法（也称预估-校正法）求解方程（取步长0.1h=）：21(0)1dyydxxyìïï=ï+íïï=ïî[0,0.2]xÎ（取5位有效数字计算）8、（10分）设方程()xgx=在区间[,]ab内有唯一根*x，()gx导数连续，且()1gxk¢?，建立新的迭代格式11(),0,1,11nnnxxgxnlll+=+=++L问如何选取实数l，使新的迭代格式有局部收敛性。9、（12分）设01(),(),,()nlxlxlxL是关于1n+个互异节点01,,,nxxxL的拉格朗日插值基函数，证明0011,0(0)0,1,2,,(1),1nkjjjnnklxknxxxkn=ìï=ïïï==íïïï-=+ïîåLL参考答案（2011-12-3）1、含根区间：[-2，-1]，[1，2]；()2,()xxxexejj¢=-=，求负根时迭代收敛，求正根时迭代不收敛；求正根时，牛顿法收敛：11201xeexxxnnxxnnn2、分解为400210112143012001LUATybLy)4,3,6(,TxyUx)1,1,3(,3、Jacob迭代及超松弛迭代分别为(1)()()123(1)()()213(1)()()3122221722mmmmmmmmmxxxxxxxxx+++ìï=-+ïïï=--íïïï=--ïî(1)()()()()11123(1)()(1)()()22123(1)()(1)(1)()33123(222)(1)(722)mmmmmmmmmmmmmmmxxxxxxxxxxxxxxxìï=+--+ïïï=+---íïïï=+---ïîJacobi迭代矩阵为022101220JG3个特征值都为0，谱半径=01,所以收敛。4、yAbaAATT2816/354/314/3130baa=32/89=0.36,b=-32/895、h=0.2，n=8等分。复化梯形T=0.4，复化辛卜生S=0.26676、分别取2()1,,fxxx=得12212124()0()16/3AAAAcAAcìï+=ïïï-=íïïï+=ïî解得1222,3AAc===3()fxx=代入仍成立，4()fxx=代入不成立。2,213nn=-=次代数精度，是高斯型。7、2(,)1yfxyx=+h=0.1121nnnnyyyhx+=++11122[]211nnnnnnyyhyyxx+++=++++x1=0.11y=1.2y1=1.2091x2=0.22y=1.4289y2=1.43818、新迭代格式的不动点显然还是*x，新迭代函数1()()11xxgxljll=+++，令1(*)(*)011xgxljllⅱ=+=++得(*)gxl¢=-，则(*)0xj¢=，所以至少2阶局部收敛。9、作()kfxx=的拉格朗日插值，得0()()nknjjjLxlxx==å余项(1)01()()()()()(1)!nnnfRxxxxxxxnx+=---+L显然0,1,,kn=L时，有()0,nRxº而1kn=+时，01()()()()nnRxxxxxxx=---L。所以01011,0(),1,2,,()()(),1nkkjjjnnklxxxknxxxxxxxkn=+ì=ïïïï==íïïï----=+ïîåLL再取0x=代入即得。