计算方法函数逼近与FFT正交多项式ch03br

第三章函数逼近与FFT计算方法——正交多项式本节内容正交多项式正交函数族、正交多项式Legendre正交多项式Chebyshev正交多项式第二类Chebyshev正交多项式Laguerre正交多项式Hermite正交多项式正交函数族定义设f(x),g(x)C[a,b]，(x)是[a,b]上的权函数，若0)()()(),(badxxgxfxgf则称f(x)与g(x)在[a,b]上带权(x)正交定义若函数族0(x),1(x),,n(x)C[a,b]满足则称{k(x)}是[a,b]上带权(x)的正交函数族0,(,)()()()0,bjkjkakjkxxxdxAjk若所有Ak=1，则称为标准正交函数族举例例：三角函数系1，cosx，sinx，sin2x，cos2x，…在[-,]上是带权(x)=1的正交函数族ππ(1,1)d2πx证：ππ(sin,sin)sinsindπnmnxmxnxmxxππ(cos,cos)coscosdπnmnxmxnxmxxππ(cos,sin)cossind0nxmxnxmxx(m,n=1,2,3,…)(m,n=0,1,2,…)正交多项式定义设n(x)是首项系数不为0的n次多项式，若则称为[a,b]上带权(x)正交0,(,)()()()0,bjkjkakjkxxxdxAjk0nn称n(x)为n次正交多项式性质1设是正交多项式族，Hn为所有次数不超过n的多项式组成的线性空间，则构成Hn的一组基0kk012(),(),(),,()nxxxx正交多项式性质2设是[a,b]上带权(x)的正交多项式族，则对p(x)Hn-1，有0kk(),()()()()d0bnnapxxxpxxx性质3设是首项系数为1的正交多项式族，则有0kk11()()()()nnnnnxxxx其中0(x)=1,1(x)=x，，(,)(,)nnnnnx11(,)(,)nnnnnn=1,2,…正交多项式性质4设是[a,b]上带权(x)的正交多项式族，则n(x)在(a,b)内有n个不同的零点0kk证：(自学)正交多项式Legendre多项式Chebyshev多项式第二类Chebyshev多项式Laguerre多项式Hermite多项式几类重要的正交多项式Legendre多项式Pn(x)的首项xn的系数为：22(21)(1)(2)!2!2(!)nnnnnnnnLegendre多项式在[-1,1]上带权(x)=1的正交多项式称为勒让德多项式201dP()1,P()(1)2!dnnnnnxxxnxx[-1,1]，n=1,2,…记号：P0,P1,P2,...则是首项系数为1的勒让德多项式2!P()(1)(2)!nnnnndxxndxP()nx令Legendre多项式勒让德多项式有以下性质：(1)正交性：110,(P,P)P()P()d2,21nmnmmnxxxmnn(3)递推公式：11(1)P()(21)P()P()nnnnxnxxnx其中P0(x)=1,P1(x)=x，n=1,2,…(4)Pn(x)在(-1,1)内有n个不同的零点(2)奇偶性：P()(1)P()nnnxx(5)P2n(x)只含偶次幂，P2n+1(x)只含奇次幂Legendre多项式1)(0xPxxP)(12/)13()(22xxP2/)35()(33xxxP8/)33035()(244xxxP8/)157063()(355xxxxPex31.mChebyshev多项式Chebyshev多项式在[-1,1]上带权(x)的正交多项式称为切比雪夫多项式211()xxx[-1,1]，n=0,1,2,…xnxTnarccoscos)(切比雪夫多项式的表达式令x=cos，则Tn(x)=cos(n)，展开后即得2224442224422()coscossincossin(1)(1)nnnnnnnnnnnTxCCxCxxCxxChebyshev多项式切比雪夫多项式的性质：(1)正交性：(3)递推公式：其中T0(x)=1,T1(x)=x，n=1,2,…(2)奇偶性：()(1)()nnnTxTx1210,()()(,)dπ/2,01π,0nmnmmnTxTxTTxmnxmn)()(2)(11xTxxTxTnnncos(n+1)+cos(n-1)=2coscosnx=cosChebyshev多项式切比雪夫多项式的性质：(4)Tn(x)在(-1,1)内有n个不同的零点:21cosπ2kkxn(k=1,2,…,n)(5)Tn(x)在[-1,1]上有n+1个极值点:πcoskkxn(k=0,1,…,n)(6)Tn(x)的首项系数为2n-1，且|Tn(x)|1(7)T2n(x)只含偶次幂，T2n+1(x)只含奇次幂Chebyshev多项式(8)令1()()2nnnTxTx即为首项系数为1的Chebyshev多项式()nTx1111max()max()nxxTxpxnH()npxH且1111max()2nnxTx记为所有次数不超过n的多项式集合，则对有Chebyshev多项式1)(0xTxxT)(112)(22xxTxxxT34)(33188)(244xxxTxxxxT52016)(355ex32.mChebyshev插值Chebyshev插值以Chebyshev多项式的零点作为插值节点进行插值好处：插值误差最小21cosπ2(1)kkxn定理设f(x)Cn+1[-1,1]，插值节点x0,x1,…,xn为Tn+1(x)的n+1个零点，则()()()min()()nnpHxfxLxfxpx(1)1()()()2(1)!nnnfxLxfxn且Chebyshev插值若f(x)Cn+1[a,b]，怎么办？22babaxt作变量替换插值节点21cosπ22(1)2kbakbaxn(k=0,1,…,n)举例例：(教材65页，例5，上机)函数，插值区间[-5,5]，试分别用等距节点和Chebyshev节点作10次多项式插值，画图比较插值效果多项式21()1fxxex33.m正交多项式第二类Chebyshev多项式Laguerre多项式Hermite多项式其它正交多项式第二类Chebyshev第二类Chebyshev多项式x[-1,1]，n=0,1,2,…2sin(1)arccos()1nnxUxx正交性：递推公式：在[-1,1]上带权正交110,(,)()()()dπ/2,nmnmmnUUxTxTxxmn其中U0(x)=1,U1(x)=2x，n=1,2,…11()2()()nnnUxxUxUx2()1xxLaguerre多项式Laguerre多项式x[0,]，n=0,1,2,…d()()dnxnxnnLxexex正交性：200,(,)()()()d(!),nmnmmnLLxLxLxxnmn递推公式：其中L0(x)=1,L1(x)=1-x，n=1,2,…211()(21)()()nnnLxnxLxnLx在[0,]上带权正交()xxeHermite多项式Hermite多项式x(-,+)，n=0,1,2,…正交性：0,(,)()()()d2!,nmnmnmnHHxHxHxxnnmn递推公式：其中H0(x)=1,H1(x)=2x，n=1,2,…11()2()2()nnnHxxHxnHx在(-,+)上带权正交2()xxe22d()(1)dnnxxnnHxeex作业教材第94页：习题4、7、8、11提示第7题中第8题可利用正交多项式的递推公式(P.58,定理4,注:该定理只对首项系数为1时成立)()(21)nnTxTx