计算机图形学04-图形几何变换

1ComputerGraphics计算机图形学第4讲：图形几何变换2目录CONTENTS01绪论02图形系统03二维图形生成04图形几何变换05二维观察06三维观察07三维对象08真实感图形技术09交互技术10计算机动画3矢量矢量和变换的数学基础zyxuuuUzyxvvvVzzyyxxvuvuvuVU4矢量的数乘矢量的点积性质变换的数学基础zyxkukukuUkzzyyxxvuvuvuVUUVVUVUVU000UUU5矢量的长度单位矢量矢量的夹角变换的数学基础222zyxuuuUUUVUVUcosUVθU·V即U在V上的投影乘以V的模6矢量的叉积叉乘的性质如下:(1).(2).矢量U×V垂直于矢量U和V，三矢量的方向遵从右手系。变换的数学基础kjikji321bbbvvvuuuVUzyxzyxyxyxzxzxzyzyuvvubvuuvbuvvub321,,sinθVUVU支点OA作用点力F力臂lU×VVhUθ7矩阵的含义矩阵：由m×n个数按一定位置排列的一个整体，简称m×n矩阵。变换的数学基础mnmmnnaaaaaaaaa..................212222111211其中，aij称为矩阵A的第i行第j列元素8ComputerGraphics第4章：图形几何变换1•二维几何变换2•三维几何变换3•图形几何变换的模式9§4.1二维几何变换1.二维平面上点的表示法改变顶点坐标,也就是对向量的变换,向量运算必须用矩阵运算来实现。2.图形变换的矩阵表示一对坐标(x,y)一个向量[xy]设:点P(x,y)点P’(x’,y’)其数学表达方法cyaxx';'dybxy矩阵表达方法''yxyxdcbadybxcyax变换后的位置矢量矩阵变换矩阵位置矢量矩阵10基本变换的种类有：平移Translation旋转Rotation缩放Scaling反射Reflection错切Shear(Skew)§4.1二维几何变换11齐次坐标HomogeneousCoordinate二次矩阵变换:•二次矩阵变换不能进行平移变换，所以需要齐次矩阵变换其中T为：§4.1.1基本变换：平移变换dbcaT][]1[mdybxkcyaxmdbkcayx12平移变换§4.1.1基本变换：平移变换原图移动后13Method：[xy]T=[xcos-ysinxsin+ycos]=[x’y’]其中T为：§4.1.1基本变换：旋转变换cossinsincosT14旋转变换§4.1.1基本变换：旋转变换15Method:[XY]T=[aXdY]=[X’Y’]Implementation:for(inti=0;im_PN;i++){//translatetoscreencentre(400,300)p[i].x=p[i].x-400;p[i].y=300-p[i].y;p[i].x=p[i].x*sdlg.m_ScaleX;p[i].y=p[i].y*sdlg.m_ScaleY;//restoretheoriginalcoordinate.p[i].x=p[i].x+400;p[i].y=300-p[i].y;}PolyLine(p,m_PN);//drawthescaledpolyline.§4.1.1基本变换：缩放变换daT0016缩放变换§4.1.1基本变换：缩放变换TranslateScaleRestore17Method：1.对坐标轴的对称变换[XY]T=[-XY]=[X’Y’]2.对原点对称变换[XY]T=[-X-Y]=[X’Y’]3.对45°线的对称变换等。§4.1.1基本变换：反射变换100110011001对x轴对称对y轴对称对原点对称18反射变换§4.1.1基本变换：反射变换原图对x轴对称对y轴对称对原点对称19Method：[xy]T=[x+cybx+y]=[x’y’]b=0:沿X方向错切c=0:沿Y方向错切其中T为：§4.1.1基本变换：错切变换c和b之一为0。11bcT20错切变换§4.1.1基本变换：错切变换原图错切c=tan30º3/3c2133齐次变换矩阵：仿射变换该矩阵可实现：比例、对称、错切、旋转等基本变换。[km]可实现平移变换。[pq]T还可实现透视变换。§4.1.1基本变换：变换通式1qpmdbkcaT22(1)复合平移(2)复合比例§4.1.2二维复合变换复合变换:由多个基本变换的连续实施而成的复杂变换,又称基本变换的级连.T21*TT101000111nm101000122nm10100012121nnmmT21*TT100000011da100000022da0100*000*1121ddaa23(3)复合旋转§4.1.2二维复合变换T21*TT1000cossin0sincos11111000cossin0sincos22221000)cos()sin(0)sin()cos(2121212124(4)级联顺序对组合变换的影响§4.1.2二维复合变换*先平移,再旋转*先旋转,再平移1cossinsincos0cossin0sincos1000cossin0sincos10100011nmnmnmT10cossin0sincos10100011000cossin0sincos1nmnmT级联的顺序不同,最终的图形不同ABBA由于矩阵乘法不满足交换率,25(5)绕平面上任意点P(m,n)的二维旋转变换§4.1.2二维复合变换P(m,n)0P(m,n)0P(m,n)0P(m,n)0（1）（2）（3）26绕平面上任意点P(m,n)的二维旋转变换矩阵§4.1.2二维复合变换10100011nmT1000cossin0sincos2T3.将图形从原点平移到P(m,n)10100013nmT1.将图形从点P(m,n)平移到原点O2.绕原点旋转27绕平面上任意点p(m,n)的二维旋转变换的总变换矩阵§4.1.2二维复合变换T1*T2*T31010001nm1000cossin0sincos1010001nm1cossinsincos0cossin0sincosnmnnmmT＝==28设直线方程Ax+By+C=0Ax+By+C=0-C/B-C/AEFF’E’G’G则：x轴上的截距为-C/Ay轴上的截距为-C/B斜率为-A/B10/0100011ACT2.让直线绕原点顺时针旋转角，使之与x轴重合1000)cos()sin(0)sin()cos(2T1.将直线沿x轴平移C/A，使之过原点对任意直线的对称变换可分解为以下五步:(6)对任意直线的对称变换29(6)对任意直线的对称变换3.图形对直线的对称变换变成对x轴的对称变换1000100013T4.让直线绕原点逆时针旋转角，恢复到原来的倾斜位置1000cossin0sincos4T10/0100015ACT5.将直线平移回原来的位置T54321TTTTT12sin/)12(cos/02cos2sin02sin2cosACAC组合变换矩阵30关于任意轴的对称变换31ComputerGraphics第4章：图形几何变换1•二维几何变换2•三维几何变换3•图形几何变换的模式32（1）平移变换指空间的立体从一个位置移动到另一位置时，其形状、大小都不发生变换的变换。§4.3.1三维基本变换x’xz’zy’yxzy1000100010001nmlT[xyz1]T=[x+ly+mz+n1]33②轴向比例变换变换矩阵主对角线上的元素a、e、j、s的作用是是图形产生比例变换。sT0000100001000011000000000000jeaT0S1，为图形整体放大S1，为图形整体缩小S0，为对称变换＋比例变换S＝1，为恒等变换[xyz1]T=[xyzs]=[x/sy/sz/s1][xyz1]T=[axeyjz1]=[x’y’z’1]若a=e=j,，则图形三方向的缩放比例相同若aej,，则图形将产生类似变形zxy①全比例变换（2）相对于原点的缩放变换（比例变换）34比例变换35绕Z轴的二维旋转很容易推广到三维：即绕Z轴旋转角（3）绕三维坐标轴的旋转变换zz'1000010000cossin00sincosTsincosyxcossinyx'x'yZ坐标不变X、Y坐标发生变化绕另外两个坐标轴旋转变换公式可由上式坐标参数x，y，z循环替换而得到，即xzyxXYZYZXZXY36三维旋转变换设空间立体绕一轴旋转角，且角的正负按右手定则决定。1.绕X轴旋转角X坐标不变Y、Z坐标发生变化10000cossin00sincos00001T2.绕Y轴旋转角Y坐标不变X、Z坐标发生变化10000cos0sin00100sin0cosT3.绕Z轴旋转角Z坐标不变X、Y坐标发生变化1000010000cossin00sincosTXYZXYZXYZ（3）绕三维坐标轴的旋转变换37（3）绕三维坐标轴的旋转变换绕y轴旋转90°381.对OXY平面的反射特点：xy值不变，z坐标符号改变1000010000100001T[xyz1]T=[xy-z1]2.对YOZ平面的反射特点：zy值不变，x坐标符号改变1000010000100001T[xyz1]T=[-xyz1]3.对XOZ平面的反射特点：xz值不变，y坐标符号改变1000010000100001T[xyz1]T=[x-yz1]（4）反射变换39。轴方向有错切关于，轴方向有错切关于，轴方向有错切关于，zfcfycxzzyhbhzbxyyxgdgzdyxxhgfdcb0,'0,'0,'1000010101（5）错切变换错切变换可以修改三维物体的形状例子：沿X轴方向错切变换矩阵,Y、Z轴方向坐标不变40（6）仿射变换1000njfcmieblhdaTnjzfycxzmizeybxylczdyaxx'''坐标变换形式：每一个变换后的坐标都是原坐标的线性函数，具有特性：平行线变换到平行线且有限点变换到有限点。平移、