超材料中的负折射率

超材料中的负折射率武汉大学陈锋强雨摘要：早在上世纪60年代，前苏联理论物理学家Veselago就构想出一种介电常数𝘀和磁导率𝜇同时为负值的介质，在这种介质中，波矢k，电场强度E和磁场强度H三者是满足左手螺旋关系。本文章介绍了左手材料的概念，介质及金属的介电常数的正负特性和负折射率的原理，并且介绍这种具有负折射率的超材料的构造。关键词：左手材料、介电常数、负折射率、超材料NegativerefractiveindexinmetamaterialsAbstract:In1960s,aRussianphysicistnamedVeselagoimaginedakindofdielectricwithnegativepermittivity𝘀andnegativemagneticpermeability𝜇.Insuchdielectric,thewavevectork,theelectricstrengthEandthemagneticstrengthHwillsatisfytheleft-handedrule.Thisarticleintroducestheconceptofleft-handedmaterials(LHM),thesignofpermittivityofdielectricandmetalandsomebasicprinciplesofnegativerefractiveindex.Also,weintroducetheconfigurationofsuchman-mademetamaterialswithnegativerefractiveindex.Keywords:left-handedmaterials,permittivity,negativerefractiveindex,andmetamaterials1.引言在一般的介质中，波矢k，电场强度E和磁场强度H，三者是满足右手螺旋关系的，那么能量的传播方向𝑺=𝑬×𝑯将会和波矢k的方向相同。那么，是否存在一种介质，使得这三个矢量满足左手螺旋关系，从而使得能量沿着波矢的反方向传播呢？前苏联理论物理学家Veselago在1964年最早研究了这个问题，他假想了一种介电常数𝘀和磁导率𝜇同时为负值的介质，能实现这个构想，因此这种介质被称为“左手材料”。2.左手坐标系由麦克斯韦方程组，假设电磁场满足简谐时变场：(𝑬,𝑯)=(𝑬0,𝑯0)𝑒𝑖𝒌∙𝒓𝑒−𝑖𝜔𝑖因此麦克斯韦方程组：{∇×𝑬=−𝜕𝑩𝜕𝑡∇×𝑯=𝜕𝑫𝜕𝑡变成：{𝒌×𝑬=𝜇𝜔𝑯𝒌×𝑯=−𝘀𝜔𝑬于是对于𝘀0,𝜇0时，𝑬,𝑯,𝒌三者构成右手系，如下图（a）所示。但是，当对于𝘀0,𝜇0时，𝑬,𝑯,𝒌三者构成左手系，如下图（b）所示。对于物质的折射率：𝑛=±√𝘀2𝜇2在右手系中，折射率取正值。对于𝘀0,𝜇0的情况，波矢满足：𝒌=−𝑬×𝑯。（此处叉乘仍采用右手系中得定义）首先来看电磁波能量的传播，即群速的方向。这个方向由波印廷矢量𝑺=𝑬×𝑯决定。在正常材料中k和S总是同方向，即相速和群速方向是一致的。但在左手材料中，这两个方向却正好相反，因此左手材料又被称为“负群速度材料”。对于从正常介质入射到左手介质的情况，由边值关系：{𝑬𝑡1=𝑬𝑡2𝑯𝑡1=𝑯𝑡2𝘀1𝑬𝑛1=𝘀2𝑬𝑛2𝜇1𝑯𝑡1=𝜇𝟐𝑯𝑡2式中n表示法向方向，t表示切向方向。如下图所示，当1是正常材料，而2是“左手材料”的时候，即𝘀0,𝜇0时，界面上E和H的平行分量的方向还是一致的，而垂直分量的方向却反了过来，再加上在介质2内，k,E,H三者遵守左手定则，因而这时会发生反常的折射：折射光和入射光出现在界面法线的同一侧，这时能流S和波矢k的传播分别如图(a)和图(b)所示：3.介质中介电常数的正值性对于各向同性的电介质，对于系统的自由能有：𝐹−𝐹0=∫12𝘀𝐷2𝑑𝑖当𝘀变化时，电场强度也发生改变，因而，系统的自由能的改变为：𝛿𝐹=∫𝑫𝛿𝑫𝘀𝑑𝑉−∫𝐸22𝛿𝘀𝑑𝑉在现在的情况下，我们所研究的是外场不变的情况，因而上式右端的第一项应该等于0，于是我们可以得到以下表达式：𝛿𝐹=−∫𝐸22𝛿𝘀𝑑𝑉由热力学的微扰理论可以证明，当电介质移动到电场内时，电介质系统的总自由能的变化总是负值。把物体的自由能的变化看成是它的量子能级受到电场扰动的结果，我们得到：𝐹−𝐹0=𝑉̅𝑛𝑛−12∑|𝑉𝑛𝑚|2(𝜔𝑚−𝜔𝑛)𝐸𝑛(0)−𝐸𝑚(0)𝑛,𝑚−12𝑘𝑇(𝑉𝑛𝑛−𝑉̅𝑛𝑛)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅2式中𝐸𝑛(0)是未受扰动的能级，𝑉𝑛𝑚是扰动能的矩阵元，而短线表示在吉布斯分布𝜔𝑛=𝑒𝑥𝑝{(𝐹0−𝐸𝑛(0))/𝑘𝑇}下得到的平均值。上式中，𝑉̅𝑛𝑛项是场的线性项，只有在热电体内才不为零。但我们关心对场为二次的自由能的变化，它由上式中其余的项得出。于是可以看出，系统总自由能的变化是负的。如果将自由能的变化看作是物体的介电常数逐渐地从𝘀0变化到𝘀的结果，那么只有当𝘀𝘀0时，𝛿𝐹的值才是负的。由此可见，介质中的介电常数恒为正值，介质并不能成为制作负折射率超材料的材料。4.金属中得介电常数由麦克斯韦方程组的第四条式子：∇×𝑯=𝜕𝑫𝜕𝑡+𝑱假设电磁场为简谐的时变场，同时由欧姆定律：𝒋=𝜎𝑖于是上式变为：∇×𝑯=−𝑖𝜔𝑫+𝜎𝑬=−𝑖𝘀𝝎𝜔𝑫式中，𝘀𝝎=𝘀𝑐+𝑖𝜎/𝜔，一般情况下，𝘀𝑐也为复数，因而把金属中的复介电常数写成：𝘀𝝎=𝘀2+𝑖𝜅。对于各向同性的金属介质，对于系统的自由能同样也有有：𝐹−𝐹0=𝑅𝑒{∫12𝘀𝜔𝐷2𝑑𝑉}当𝘀变化时，电场强度也发生改变，因而，系统的自由能的改变为：𝛿𝐹=𝑅𝑒{∫𝑫𝛿𝑫𝘀𝜔𝑑𝑉}−∫|𝑫|22𝛿(𝘀2𝘀22+𝜅2)𝑑𝑉在现在的情况下，我们所研究的是外场不变的情况，因而上式右端的第一项应该等于0，于是我们可以得到以下表达式：𝛿𝐹=−∫|𝑫|22𝛿(𝘀2𝘀22+𝜅2)𝑑𝑉=−∫|𝑬|22(𝘀22+𝜅2)(𝘀22−𝜅2)(𝘀22+𝜅2)2𝛿𝘀2𝑑𝑉=−∫|𝑬|22(𝘀24−𝜅4)(𝘀22+𝜅2)2𝛿𝘀2𝑑𝑉同样地，系统总自由能的变化是负的。如果将自由能的变化看作是物体的介电常数逐渐地从𝘀0变化到𝘀的结果，当𝘀22𝜅2时，即金属折射率的实部比虚部要小的时候，那么当𝘀𝘀0时，𝛿𝐹的值是负的。由此可见，金属中的介电常数可以为负值，金属可以成为制作负折射率超材料的材料。但是，由于介电常数的虚部比实部要大，光在金属中传播时会呈指数衰减。5.超材料构造6.金属导体中的介电常数与电介质中不同，金属中存在自由电子，在电磁场的作用下自由电子会产生漂移，相比较电介质中电子在电磁场的作用下在晶格周围振动，自由电子漂移产生的电偶极矩更大，自由电子在电磁场的作用下收到一个驱动力，而同时漂移过程中与原子实的接连碰撞会导致电子收到一个周期阻力，设这个阻力与电子漂移速度成正比，则运动方程为：tieeExmxm00，设其解形式为：tiAex，带入得：002eEiAmmA，)i(00meEA由此得极化强度P为：tiemfeENeNfexEP)i(-)(000，（式中N为单位体积中金属原子的个数，而f为每个金属原子中自由电子的数量。由此得:）)i(-1（）)i(-1（)i(-0200020020pmfNemfNe，（022mfNep）当0时，）-1（220p，此时对应于周期阻力远小于电磁驱动力。在紫外波段，0，只有在微波波段，此条件才能满足。负介电常数在金属结构中的实现左手材料首先要求材料中的0，0。根据金属中的色散关系：当0时，）-1（220p，如果0，则p可知对于适当的频率范围，金属的介电常数小于零。而上述公式只能在介电常数不太大时成立，也即意味着在只能略小于p，而只有在微波波段，传播过程中的损耗才较小，即在微波波段才满足0，因此必须让p处于微波波段，而对于一般的纯金属材料p位于紫外区，因此必须构造一种结构让其p值变小，由于022mfNep，因此必须减小N或者增大m（有效质量），处于这种目的，我们构造这种周期结构材料:首先自由电子只存在于金属线中因此整个系统的原子数密度变为22arNNeff（a为金属线间距），相比较N减小了7个数量级。对于结构中电子的有效质量，vpmeffeff，电子的有效动量eAmvpeff，我们假设在半径满足22sra的范围内磁场满足一个无限长导线产生的电场，而在此之外磁场为零，由)(20AerIB，得zceRRIA)ln(20，而2RNevI，因此RRRNemmceffln21220（上式中的R为金属线的半径）effm相比较m可以有几个数量级的增长（通过调整cR与R的大小，此外为了避免金属原子的布拉格衍射对结构整体造成过大影响，金属线半径R必须足够细）因此上述结构可实现微波波段的负介电常数。（3）SRR结构实现左手材料自然界中绝大多数物质的都大于零，而且磁导率关于频率的响应具有高频截止特性，在GHz及更高频率已不显示磁性，因此我们想到构造一个交流电路微结构来达到负磁导率的效果，这个结构由两个金属谐振环（实际上是两个柱壳，图为其横截面）构成，当电磁场垂直横截面入射时，金属环上会产生感应电流，因此会存在电感，而两个金属环之间有一定间隔，产生电容，因此整个系统会产生LC谐振，电容与电感以及简谐频率的大小都与结构的几何尺寸有关。经计算得，谐振环结构的共振频率为)2ln(332020dcrlc(l为结构间距，r为内环半径，d为内外环间距此时磁导率的频率响应为：iF202201）(，220lcF为微结构结构面积占比，为损耗参数，我们假设，即我们忽略分母上的虚数项，此时在001F的范围内，0这种结构的介电常数也存在与金属线阵列类似的形式，也即在一定频率范围内满足00。在微波波段的入射波其波长远大于微结构的结构尺寸，因此在此程度上可以认为其为均匀介质7.结论自然界中并没有磁导率与介电常数都小于零的物质，因此所谓的左手材料必须靠人工构造的微结构来实现，必须说明这些微结构的介电常数与磁导率是建立在等效基础上也即宏观上的概念（这里的宏观指的是远大于微结构尺寸的尺度）而且由于目前的左手材料还处于起步阶段，还存在介质中的损耗过大等问题。但其在完美成像，隐形材料，逆多普勒效应，微波通信等方面的应用前景，使左手材料在今后将蓬勃发展。参考文献1.朗道《连续介质电动力学》2.刘觉平《电动力学》3.Marek.S.Warkak《计算光子学》4.熊伟《S形金属条带结构左手材料的设计研究及其在天线设计中的应用》