计算机科学计算答案第一章绪论

矩阵与数值分析学习指导和典型例题分析目录第一章误差分析与向量与矩阵的范数.....................................11.1.1内容提要..................................错误!未定义书签。2.1.2典型例题分析..............................错误!未定义书签。3.1.3习题......................................错误!未定义书签。4.1.4习题解答..................................错误!未定义书签。第二章矩阵变换与计算.................................错误!未定义书签。5.2.1内容提要..................................错误!未定义书签。6.2.2典型例题分析..............................错误!未定义书签。7.2.3习题......................................错误!未定义书签。8.2.4习题解答..................................错误!未定义书签。第三章矩阵分析.......................................错误!未定义书签。9.3.1内容提要..................................错误!未定义书签。10.3.2典型例题分析..............................错误!未定义书签。11.3.3习题......................................错误!未定义书签。12.3.4习题解答..................................错误!未定义书签。第四章逐次逼近.......................................错误!未定义书签。13.4.1内容提要..................................错误!未定义书签。14.4.2典型例题分析..............................错误!未定义书签。15.4.3习题......................................错误!未定义书签。4.4习题解答......................................错误!未定义书签。第五章插值与逼近.....................................错误!未定义书签。16.5.1内容提要..................................错误!未定义书签。17.5.2典型例题分析..............................错误!未定义书签。18.5.3习题......................................错误!未定义书签。5.4习题解答......................................错误!未定义书签。第六章插值函数的应用.................................错误!未定义书签。19.6.1内容提要..................................错误!未定义书签。20.6.2典型例题分析..............................错误!未定义书签。21.6.3习题......................................错误!未定义书签。6.4习题解答......................................错误!未定义书签。第七章常微分方程数值解...............................错误!未定义书签。22.7.1内容提要..................................错误!未定义书签。23.7.2典型例题分析..............................错误!未定义书签。24.7.3习题......................................错误!未定义书签。7.4习题解答......................................错误!未定义书签。第八章矩阵特征对的数值解法...........................错误!未定义书签。25.8.1内容提要..................................错误!未定义书签。26.8.2典型例题分析..............................错误!未定义书签。27.8.3习题......................................错误!未定义书签。8.4习题解答......................................错误!未定义书签。自测试卷Ⅰ............................................错误!未定义书签。自测试卷Ⅰ参考答案....................................错误!未定义书签。自测试卷Ⅱ............................................错误!未定义书签。自测试卷Ⅱ参考答案....................................错误!未定义书签。自测试卷Ⅲ............................................错误!未定义书签。自测试卷Ⅲ参考答案....................................错误!未定义书签。参考文献...............................................错误!未定义书签。第一章误差分析与向量与矩阵的范数一、内容提要本章要求掌握绝对误差、相对误差、有效数字、误差限的定义及其相互关系；掌握数值稳定性的概念、设计函数计算时的一些基本原则和误差分析；熟练掌握向量和矩阵范数的定义及其性质。1．误差的基本概念和有效数字1）．绝对误差和相对误差的基本概念设实数x为某个精确值，a为它的一个近似值，则称ax为近似值a的绝对误差，简称为误差．当0x时，xax称为a的相对误差．在实际运算中，精确值x往往是未知的，所以常把aax作为a的相对误差．2）．绝对误差界和相对误差界的基本概念设实数x为某个精确值，a为它的一个近似值，如果有常数ae，使得aeax称ae为a的绝对误差界，或简称为误差界．称aea是a的相对误差界．此例计算中不难发现，绝对误差界和相对误差界并不是唯一的，但是它们越小，说明a近似x的程度越好，即a的精度越好．3）．有效数字设实数x为某个精确值，a为它的一个近似值，写成nkaaaa21.010它可以是有限或无限小数的形式，其中),2,1(iai是9,,1,0中的一个数字，ka,01为整数．如果nkax1021则称a为x的具有n位有效数字的近似值．如果a有n位有效数字，则a的相对误差界满足：naaax111021。4）．函数计算的误差估计如果),,,(21nxxxfy为n元函数，自变量nxxx,,,21的近似值分别为naaa,,,21，则)(),,,(),,,(12121kknkaknnaxxfaaafxxxf其中),,,(21nkakaaafxxf，所以可以估计到函数值的误差界，近似地有kankakannexfeaaafxxxf12121),,,(),,,(如果令2n，设21,xx的近似值分别为21,aa，其误差界为111aeax和22ax2ae，取),(21xxfy为21,xx之间的四则运算，则它们的误差估计为，1121aaaaeee；112121aaaaeaeae；22211121aeaeaeaaaa，02a。数相加或减时，其运算结果的精度不会比原始数据的任何一个精度高．对于两个数作相减运算时，由于其相对误差界：21212121aaeeaaeaaaa。如果1x和2x是两个十分接近的数，即1a和2a两个数十分接近，上式表明计算的相对误差会很大，导致计算值21aa的有效数字的位数将会很少。对于两个数作相除运算时，由于其相对误差界：22211121aeaeaeaaaa。从关系式中可以看出，如果2x很小，即2a很小，计算值21aa的误差可能很大。5）．数值稳定性的概念、设计算法时的一些基本原则⑴算法的数值稳定性：一个算法在计算过程中其舍入误差不增长称为数值稳定。反之，成为数值不稳定。不稳定的算法是不能使用的。⑵在实际计算中应尽量避免出现两个相近的数相减。⑶在实际计算中应尽力避免绝对值极小数作除数。⑷注意简化运算步骤，尽量减少运算次数。⑸多个数相加，应把绝对值小的数相加后，再依次与绝对值大的数相加。2．向量和矩阵范数把任何一个向量或矩阵与一个非负实数联系起来，在某种意义下，这个实数提供了向量和矩阵的大小的度量。对于每一个范数，相应地有一类矩阵函数，其中每一个函数都可以看作矩阵大小的一种度量。范数的主要的应用：一、研究这些矩阵和向量的误差估计。二、研究矩阵和向量的序列以及级数的收敛准则。1）向量范数定义存在nR（n维实向量空间）上的一个非负实值函数，记为xxf)(，若该函数满足以下三个条件：即对任意向量x和y以及任意常数R（实数域）（1）非负性0x，并且0x的充分必要条件为0x;（2）齐次性xx；（3）三角不等式yxyx．则称函数为nR上的一个向量范数．常用三种的向量范数设任意ｎ维向量Tnxxx),,,(21x，（Tx为向量x的转置），niix11x，向量的1-范数21,21122xxxxxxTnii，向量的2-范数inixx1max，向量的-范数一般情况下，对给定的任意一种向量范数，其加权的范数可以表为xxWW，其中W为对角矩阵，其对角元作为它的每一个分量的权系数。向量范数的连续性定理nR上的任何向量范数x均为x的连续函数。向量范数的等价性定理设和为nR上的任意两种向量范数，则存在两个与向量x无关的正常数c1和c2，使得下面的不等式成立xxx21cc，其中nxR.2).矩阵范数定义存在nnR（nn维复矩阵集合）上的一个非负实值函数，记为AAf)(，对任意的A,nnRB均满足以下条件：（1）非负性：对任意矩阵A均有0A，并且0A的充分必要条件为OA;（2）齐次性：AA，∈C；（3）三角不等式：BABA,nnRBA,；（4）相容性：BAAB,nnRBA,，则称为nnR上的矩阵范数。我们可定义如下的矩阵范数：minjijma111A，矩阵的1m-范数21112minjijFaA，矩阵的F-范数（Frobenius）范数。（矩阵范数与向量范数相容性定义）对于一种矩阵范数M和一种向量范数V，如果对任意n×n矩阵A和任意n维向量x,满足VMVxAAx，则称矩阵范数M与向量范数V是相容的。3）矩阵的算子范数定理已知nR上的向量范数V，A为n×n矩阵，定义VVVMVAxxAxAxx10maxmax则MA是一种矩阵范数，且与已知的向量范数相容，称之为矩阵的算子范数。三种常用的矩阵的算子范数miijnja111maxA；(列范数)njijmia11maxA．(行范数),)(max2AAAT（谱范数）其中)(maxAAT表示矩阵A