计算流体力学基础_P2_偏微分方程的性质

第四章偏微分方程的性质BehaviorofPartialDifferentialEquationsSlide1超音速钝体绕流问题的解决Slide20xuctu)()0,(xxu方程的精确解：)(),(ctxtxu含义：以常速度c向右传播。波形，振幅保持不变3（常用）特例：常系数线性单波方程偏微方程的分类及特征基本概念：椭圆型、双曲型、抛物型方程1.一阶偏微分方程(,)x初值：uxt=0uxt=t0t=0时刻与t=t0时刻物理量的分布txt=t1t=t2t=t3x-ct=const重要概念：特征线自变量空间的一条曲线，该曲线上物理量的方程可简化ABc0扰动波向右传播：左端(A)需要给定边界条件；右端(B)只能被动接受，无法给定边界条件（即使给定，对计算域也无任何影响,且造成B端的非适定性）。c0扰动波向左传播：右端(B)需要给定边界条件；左端(A)无需给定线性单波方程的边界条件:对于初值问题，如果微分方程解的定解域中存在、唯一、且连续依赖于初始值，则称数学问题的提法是适定的。40xuctu,xab)()0,(xxu有限空间重要基本概念，需掌握初值：问题：如何给定边界条件？（一般形式）一阶线性偏微方程),(),(),(yxcyuyxbxuyxa采用特征线法，可转化为常微分方程)();(syysxx考虑曲线G:)();(syysxxdsdyyudsdxxusu显然，沿着该曲线G有：如果该曲线G满足：bdsdyadsdx则有：cyubxuadsdu偏微方程在特征线上变成了常微分方程特征线特征相容关系（特征线上物理量的简化方程）5xy特征线简化了方程，在空气动力学领域应用广泛CopyrightbyLiXinliang6演示：如何利用特征线计算物理量),(),(),(yxcyuyxbxuyxa),(),(yxbdsdyyxadsdx特征线),(yxcdsdu特征相容关系计算域xys步骤：1）设定积分步长（根据精度需求设定，例如0.1）2）在边界上选取初始点，由边界条件确定该点的物理量值3）根据特征线及特征相容关系数值积分，求出特征线下一个点的坐标和函数值。递推下去，计算出整条特征线的（离散）坐标及物理量的（离散）值。4）在边界上选取新的点，重复步骤3），计算出整个计算域物理量的分布s00(,)xy11(,)xy22(,)xy33(,)xy00(,)xy0u),(),(yxbsyyxasx11(,)xy1u),(yxcsuxy特征线法是空气动力学重要的计算方法。早期（计算机出现之前），是主要的CFD手工计算方法之一。Tmuuuxt),......,(021UUAU2.一阶常系数偏微方程组如果矩阵A可以被对角化：ΛSSA1),......,(21mdiagSUV0xtUΛSSU10xtUΛSUS令：有0xtVΛV即：0xvtvjjjm个方程完全解耦，可独立求解有m条特征线：0txjm个特征相容关系式：.constvjG如果矩阵A能够（相似变换）对角化，则原方程是双曲型的7如果矩阵A具有m个实特征值，这些特征值共具有m个线性无关的特征向量，则称为双曲型方程一阶拟线性偏微分方程组和m条特征线上的m个特征相容关系（常微分方程）等价。如果A的特征值为m重根，而且对应的独立特征向量数小于m，则称为抛物型方程。如果其A的特征值均为复数，则称为椭圆型方程组合情况：双曲-椭圆型双曲-抛物型83.高阶偏微方程——可转化为一阶方程组)1(22222dyfcyxfbxfayfvxfu,原方程化为一阶方程组：)2(yuxvdyvcyubxua0/01//advuyacabvux转化为一阶偏微方程组01//acabA矩阵)3(002cbaAI00042acb特征方程（3）有两个互异实根-矩阵A可对角化-双曲型特征方程（3）有两个相同实根，且无法对角化-抛物型特征方程（3）无实根-椭圆型94.讨论Euler方程组0Utxf(U))(2pEupuuEuf(U)UxxUAf(U)uucucuuu22232223112)2(1)3(2/)3(010UfA将矩阵A对角化ΛSSA1321000000Λ一维非定常Euler方程转化为三个单波方程:扰动波分别以速度传播一维非定常流动：10cucuu321,,推导321uuuEuU1213,/,uuuuEu守恒变量：质量密度、动量密度、能量密度2112pEu22311(1)()2upuu1221321223223212123)1()(uuuuuuuuupEupuuffff(U)好性质：齐次函数f(U)U)f(5.双曲型方程组边界条件提法0xvtvjjj变换成为了彼此独立的n个单波方程方法：独立给定j个方程的边界条件如果j0,则在左端给定vj的边界条件如果j0,则在右端给定vj的边界条件特点：左、右边界总共给定n个边界条件，各自的个数视特征值的符号确定ABj=1j=2可推广到一般的双曲型方程组0xtUAU11条件描述边界条件设定超音速入口给定3个边界条件亚音速入口给定2个边界条件超音速出口无需给定边界条件亚音速出口给定1个边界条件2）一维Euler方程0xtF(U)UTEuU),,(upEpuu)(2F(U)UF(U)AΛSSA1),,(321diagcucuu321,,对于左边界：cuandu0cuandu0cuandu0cuandu012知识点5.椭圆型方程：Laplace方程22221200,0010,10,xyuvxyuvvuxyxyuAvxyiiUUUA降阶：一阶拟线性方程：，特征值：类型：椭圆型方程13椭圆型方程边界条件的提法：第1类边界条件（Dirichlet问题）uuG第2类边界条件（Neumann问题）)(xgnuG第3类边界条件（Robin问题）)(21xhunuGG14特点：全部边界均需提供边界条件（与双曲方程不同）原因：椭圆型方程的扰动“全局传播”，全部边界的信息都会影响到内点。拟线性偏微分方程的分类Slide16Slide17Slide18双曲型偏微分方程的特征线法Slide194.1偏微分方程的性质022222fyuexudyucyxubxua042acbSlide20对于二次曲线方程：或二阶偏微分方程：042acb042acb双曲型方程抛物线型方程椭圆形方程4.2偏微分方程组的分类Slide21偏微分方程组同样具有三种不同分类：双曲型、抛物型、椭圆型判别方法：克莱默法则、特征值法4.3特征值法Slide22取偏微分方程组：定义：则方程组可写为:的特征值为实数，双曲型；为复数，椭圆形；特征根既有实数，又有复数，则为混合型。4.3特征值法-例Slide23取二维可压缩无旋定常流动控制方程组其中：或求逆矩阵：4.3特征值法-例Slide24M1，特征根为实数，方程组为双曲型；M=1，特征根为或一个实特征值，方程组为抛物线；M1，特征根为虚数，方程组为椭圆型。4.4不同类型偏微分方程的性质Slide25不同类型的方程具有不同的数学特性，反映出流场的不同物理特性，因而在进行求解时，也必须采用不同的数值方法。Slide264.4.1双曲型方程1.沿y轴上的信息已知(边界条件)；2.P点的信息扰动，向下游沿两条特征线传递，并影响两条特征线之间区域(I)内的信息；3.特征线反向延伸，与y轴交于a、b，P点信息依赖于a-b-P之间的信息，称依赖区域；4.边界线上的c点下游特征线及其间区域对P点无影响。因而，P点的流场特性仅仅依赖于区域III内的流场参数。由此，可以通过“推进”方法，将边界线上(y轴)的信息逐步向下游(x方向)推进，以求解流场。左行线右行线III:依赖区域II:C点影响区域I:影响区域Slide274.4.1双曲型方程-例定常无粘超音速流动假设流动：1.绕流孤立翼型2.绕流可以有攻角，但不产生脱体激波，同时不存在局部跨音速流动上述流动满足定常Euler方程-双曲型则：翼型上游ab线上的流场信息（可理解为无穷远来流）可逐步向下游传递，推进求解。对于三维定常无粘超音速流动，方式相同。Slide284.4.1双曲型方程-例非定常无粘流动对于时间t，无论流动亚音或超音，方程皆为双曲型。对于一维非定常动，P点参数决定于a-b区域内的初值信息（t=0)，而P点信息则可以影响其下游两特征线之间区域内的流场参数。对于二维非定常流动，方式相同。例子如：一维管道内的波运动，绕二维振荡翼型的二维非定常流动。1D2DSlide294.4.2抛物型方程1.只有一个特征值2.P点的参数对其下游整个区域都有影响；3.P点同样受其上游整个区域内任意位置的参数影响；4.同样适合以“推进”方法求解Slide304.4.2抛物型方程-例1.定常边界层流动2.“抛物化”粘性流动N-S方程中流向导数（如下式所列）很小，可忽略，则简化为PNS（抛物型NS方程）不适合存在分离的粘性流动，因流向导数的粘性项被忽略了Slide314.4.2抛物型方程-例3.非定常热传导假设流体的温度梯度是速度的函数、无附加的体积热，且内能e=cvT:K=const一维情况：热扩散率Slide324.4.3椭圆型方程1.特征线为虚数，故与特征线有关的解法不适用；2.无有限影响区域和依赖区域，流场参数信息可以向任何方向传播；3.图中P点参数影响整个区域的信息，同时区域内任意点的参数也影响P点的参数。边界条件的类型：Slide334.4.3椭圆型方程-例1.定常亚音速无粘流动2.不可压缩无粘流动典型的低马赫数流动超音速钝体绕流问题的解决Slide34