习题反常积分的收敛判别法

278/18习题8.2反常积分的收敛判别法⒈⑴证明比较判别法（定理8.2.2）；⑵举例说明，当比较判别法的极限形式中l0或时，adxx)(和adxxf)(的敛散性可以产生各种不同的的情况.解（1）定理8.2.2（比较判别法）设在[,)a上恒有)()(0xKxf，其中K是正常数.则当adxx)(收敛时adxxf)(也收敛；当adxxf)(发散时adxx)(也发散.证当adxx)(收敛时，应用反常积分的Cauchy收敛原理，0，aA0，0,AAA：KdxxAA)(.于是AAdxxf)(AAdxxK)(，所以adxxf)(也收敛；当adxxf)(发散时，应用反常积分的Cauchy收敛原理，00，aA0，0,AAA：KdxxfAA)(.于是AAdxx)(0)(1AAdxxfK，所以adxx)(也发散.（2）设在[,)a上有0)(,0)(xxf，且0)()(limxxfx.则当adxxf)(发散时，adxx)(也发散；但当adxxf)(收敛时，adxx)(可能收敛，也可能发散.例如21)(xxf，)20(1)(pxxp，则0)()(limxxfx.显然有1)(dxxf收敛，而对于1)(dxx，则当21p时收敛，当10p时发散.279/18设在[,)a上有0)(,0)(xxf，且)()(limxxfx.则当adxxf)(收敛时，adxx)(也收敛；但当adxxf)(发散时，adxx)(可能发散，也可能收敛.例如xxf1)(，)21(1)(pxxp，则)()(limxxfx.显然有1)(dxxf发散，而对于1)(dxx，则当121p时发散，当1p时收敛.⒉证明Cauchy判别法及其极限形式（定理8.2.3）.证定理8.2.3（Cauchy判别法）设在[,)a(,)0上恒有fx()0，K是正常数.⑴若fxKxp()，且p1，则adxxf)(收敛；⑵若fxKxp()，且p1，则adxxf)(发散.推论（Cauchy判别法的极限形式）设在[,)a(,)0上恒有fx()0，且lim()xpxfxl，则⑴若0l，且p1，则adxxf)(收敛；⑵若0l，且p1，则adxxf)(发散.证直接应用定理8.2.2（比较判别法）及其推论（比较判别法的极限形式），将函数)(x取为px1.⒊讨论下列非负函数反常积分的敛散性：⑴11321xexdxxln;⑵131tanarcdxxx;⑶110xxdx|sin|;⑷xxdxqp11（Rqp,）.解（1）当x时，1ln123xexx～231x，280/18所以积分11321xexdxxln收敛.（2）当x时，31arctanxx～32x，所以积分131tanarcdxxx收敛.（3）因为当0x时有xxx11sin11，而积分dxx011发散，所以积分110xxdx|sin|发散.（4）当x时，pqxx1～qpx1，所以在1qp时，积分xxdxqp11收敛，在其余情况下积分xxdxqp11发散.⒋证明：对非负函数fx()，)cpv(fxdx()收敛与fxdx()收敛是等价的.证显然，由fxdx()收敛可推出)cpv(fxdx()收敛，现证明当0)(xf时可由)cpv(fxdx()收敛推出fxdx()收敛.由于)cpv(fxdx()收敛，可知极限Alim)(AFAlimAAdxxf)(存在而且有限，由Cauchy收敛原理，0，00A，0,AAA：)'()(AFAF，于是0,AAA与0',ABB，成立AAdxxf)()'()(AFAF与BBdxxf')()'()(BFBF，这说明积分0)(dxxf与0)(dxxf都收敛，所以积分fxdx()收敛.⒌讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散，下同）：281/18⑴lnlnlnsinxxxdx2;⑵sinxxdxp1（Rp）;⑶1tanarcsindxxxxp（Rp）;⑷sin()xdx20;⑸anmxdxxqxpsin)()(（pxm()和qxn()分别是m和n次多项式，qxn()在),[ax范围无零点.）解（1）因为AxdxAF2sin)(有界，xxlnlnln在),2[单调，且0lnlnlnlimxxx，由Dirichlet判别法，积分lnlnlnsinxxxdx2收敛；由于xxxsinlnlnlnxxx2sinlnlnln)2cos1(lnlnln21xxx，而积分2lnlnlndxxx发散，22coslnlnlnxdxxx收敛，所以积分2sinlnlnlndxxxx发散，即积分lnlnlnsinxxxdx2条件收敛.（2）当1p时，ppxxx1sin，而11dxxp收敛，所以当1p时积分sinxxdxp1绝对收敛；当10p时，因为AxdxAF1sin)(有界，px1在),1[单调，且01limpxx，由Dirichlet判别法，积分sinxxdxp1收敛；但因为当10p时积分1|sin|dxxxp发散，所以当10p时积分sinxxdxp1条件收敛.（3）当1p时，pxxxarctansinpx2，而11dxxp收敛，所以当1p时积分1tanarcsindxxxxp绝对收敛；当10p时，因为AxdxAF1sin)(有界，pxxarctan在),1[单调，且282/180arctanlimpxxx，由Dirichlet判别法，积分1arctansindxxxxp收敛；但因为当10p时积分1sinarctandxxxxp发散，所以当10p时积分1arctansindxxxxp条件收敛.（4）令2xt，02)sin(dxx02sindttt，由于02sindttt条件收敛，可知积分sin()xdx20条件收敛.（5）当1mn且x充分大时，有xxqxpnmsin)()(2xK，可知当1mn时积分anmxdxxqxpsin)()(绝对收敛.当1mn时，因为AxdxAF1sin)(有界，且当x充分大时，)()(xqxpnm单调且0)()(limxqxpnmx，由Dirichlet判别法可知anmxdxxqxpsin)()(收敛；但由于当x时，)()(xqxpnm～xa，易知1sin)()(dxxxqxpnm发散，所以当1mn时，积分anmxdxxqxpsin)()(条件收敛.当1mn时，由Axqxpnmx)()(lim，A为非零常数、或，易知积分anmxdxxqxpsin)()(发散.⒍设fx()在[,]ab只有一个奇点xb，证明定理8.2.'3和定理8.2.5.定理8.2.3（Cauchy判别法）设在[,)ab上恒有fx()0，若当x属于b的某个左邻域[,)bb0时，存在正常数K，使得283/18⑴fxKbxp()()，且p1，则fxdxab()收敛；⑵fxKbxp()()，且p1，则fxdxab()发散.证（1）当p1时，积分bapdxxb)(1收敛，由反常积分的Cauchy收敛原理，0，0，),0(',：Kdxxbbbp')(1.由于')(bbdxxf')(bbpdxxbK，所以fxdxab()收敛.（2）当1p时，积分bapdxxb)(1发散，由反常积分的Cauchy收敛原理，00，0，),0(',：Kdxxbbbp0')(1.由于')(bbdxxf0')(bbpdxxbK，所以fxdxab()发散.推论（Cauchy判别法的极限形式）设在[,)ab上恒有fx()0，且lim()()xbpbxfxl，则⑴若0l，且p1，则fxdxab()收敛；⑵若0l，且p1，则fxdxab()发散.证（1）由lim()()xbpbxfxl（lp0,1），可知0，),(bbx：pxblxf)(1)(，再应用定理8.2.3的（1）.（2）由lim()()xbpbxfxl（lp0,1），可知0，),(bbx：pxblxf)(2)(，284/18再应用定理8.2.3的（2）.定理8.2.5若下列两个条件之一满足，则fxgxdxab()()收敛：⑴（Abel判别法）fxdxab()收敛，gx()在[,)ab上单调有界；⑵（Dirichlet判别法）badxxfF)()(在],0(ab上有界，gx()在[,)ab上单调且0)(limxgbx.证（1）设Gxg|)(|，因为fxdxab()收敛，由Cauchy收敛原理，0，0，),(,bbAA：GdxxfAA2)(.由积分第二中值定理，AAdxxgxf)()(AAdxxfAgdxxfAg)()()()(AAdxxfGdxxfG)()(22.（2）设MF|)(|，于是),[,baAA，有MdxxfAA2)(.因为0)(limxgbx，0，0，),(bbx，有Mxg4)(.由积分第二中值定理，AAdxxgxf)()(AAdxxfAgdxxfAg)()()()(|)(|2|)(|2AgMAgM22.所以无论哪个判别法条件满足，由Cauchy收敛原理，都有adxxgxf)()(收敛的结论.⒎讨论下列非负函数反常积分的敛散性：⑴112301xxdx();⑵lnxxdx2011;⑶12202cossinxxdx;⑷102cosxxdxp;⑸|ln|xdxp01;⑹xxdxpq11011();⑺1011|ln|)1(dxxxxqp.解（1）因为32)1(1xx～321x)0(x，32)1(1xx～31)1(1x)1(x，所以285/18积分112301xxdx()收敛.（2）因为1lnlim21xxx21，且对任意10，01lnlim20xxxx，即当0x充分小时，有xxx11ln2，所以积分lnxxdx2011收敛.（3）因为xx22sincos1～21x)0(x，xx22sincos1～2)2(1x)2(x，所以积分12202cossinxxdx发散.（4）因为pxxcos1～221px)0(x，所以当3p时积分102cosxxdxp收敛，当3p时积分102cosxxdxp发散.（5）首先对任意的10与任意的p，有0]|ln|[lim0pxxx，即当0x充分小时，有xxp1ln；且pxln～px)1(1)1(x.所以当1p