复变函数与积分变换课堂PPT第三章

第三章复变函数的积分§1复变函数积分的概念§2柯西－古萨基本定理§3基本定理的推广———复合闭路定理§4原函数与不定积分§5柯西积分公式§6解析函数的高阶导数§7解析函数与调和函数的关系§1复变函数积分的概念1.积分的定义2.积分存在的条件及其计算法3.积分的性质1.积分的定义如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向)，则将C理解为带有方向的曲线，称为有向曲线。设曲线C的两个端点为A与B，如果将A到B的方向作为C的正方向，则从B到A的方向就是C的负方向，。常将两个端点中一个作为起点，另一个作为终点，则正方向规定为起点至终点的方向。设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线。C并记作而简单闭曲线的正方向是指当曲线上的点P顺此方向沿该曲线前进时，邻近P点的曲线内部始终位于P点的左方。相反的方向就是曲线的负方向。定义终点为B的一条光滑有向设w=f(z)定义在区域D内，C是D内起点为AAz1z1z2z2z3z3zk1zkzkDzkBxyO曲线。C任意分成n个弧段，设分点为Az1z1z2z2z3z3zk1zkzkDzkBxyO在每个弧段zk-1zk(k=1,2,...,n)上任意取一点zk，并作和式的长度，,,记当n无限增加且趋于零，如有唯一极限，则称其为1()lim()ΔnkknkCfzdzfzzf(z)沿曲线C的积分，记作容易看出,当C是x轴上的区间axb,而f(z)=u(x)时,1()lim()ΔnkknkCfzdzfzz这个积分定义就是一元实函数定积分的定义。如果C为闭曲线，则沿此闭曲线的积分记作2.积分存在的条件及计算法给出,正方向为参数增加的方向,参数a及b对应于起点如果f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内处处连续，则u(x,y)及v(x,y)均为D内的连续函数。设zk=xk+ihk，设光滑曲线C由参数方程A及终点B,并且。由于所以，有下面的式子：由于u,v都是连续函数,根据线积分的存在定理,当n无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,不论对不论对C的分法如何，点(xk,hk)的取法如何，上式右端的两个和式的极限都是存在的。因此有上式在形式上可以看作是与所以是比较容易记住的。相乘后求积分得到：而且上式说明了两个问题：i)当f(z)是连续函数而C是光滑曲线时，积分是一定存在的。可以通过两个二元实变函数的线积分来计算。根据线积分的计算方法，有上式右端可以写成所以今后讨论积分，如无特别说明，总假定被积函数是连续的，曲线C是按段光滑的。如果C是由C1,C2,...,Cn等光滑曲线首尾连接而成,则定义[解]直线的方程可写作,其中C为原点到点3+4i的直线段。例1计算或在C上,。于是又因容易验证，右边两个线积分都与路线C无关，所以的值，不论C是怎样的连接原点到3+4i的曲线，都等于[解]直线的方程可写作计算积分例分别沿y=x与在C上,。于是抛物线的方程可写作在C上,。于是z0rqzz0=reiqzOxy的正向圆周,n为整数。例2计算,其中C为以z0为中心,r为半径当n=0时，结果为当时，结果为所以[解]C的方程可写作这个结果以后经常要用到,它的特点是与积分路线圆周的中心和半径无关，应当记住。所以这是因为z1z0=1+iOxyＣ2Ｃ1Ｃ31)沿原点到点例3计算的值，其中C为所接成的折线。[解]的直线段2)沿从原点到点的直线段段，与从到的直线3.积分的性质则(k为常数)设曲线C长度为L，f(z)在C上满足,复函数的积分也有下列一些简单性质，与实变函数中定积分的性质类似的：线因此便得不等式的第一部分，又因两端取极限，得两点之间的弧段的长度，所以事实上，是与两点之间的距离，为这这里表示连续函数(非负的)沿C的曲所以这是不等式的第二部分。绝对值的一个上界。例4设C为从顶点到点3+4i的直线段，试求积分[解]C的方程为。由估值不等式得从而有而，所以在C上，§2柯西-古萨(Cauchy-Goursat)基本定理或沿封闭曲线的积分值为零的条件，可能与被积函数的解析性及区域的单连通性有关。究竟关系如何，不妨先在加强条件下做些初步探讨。假设f(z)=u+iv在单连通域B内处处解析，且连续的，且满足柯西-黎曼方程从上节的几个例题中思考，积分的值与路线无关,在B内连续。由于所以u和v以及它们的偏导数在B内都是则有其中C为B内任何一条简单闭曲线，从格林公式与柯西-黎曼方程(路线C取正向)得其中D是C所围的区域,所以上式的左端为零。闭曲线的积分为零。实际上，是不必要的。因此有下面一条在解析函数理论中最基本的定理。因此在上面的假设下，函数f(z)沿B内任何一条在B内连续的假设柯西-古萨基本定理CB内处处解析,则在B内任何一条封闭曲线C的积分为零:如果函数f(z)在单连通域B定理中曲线C可以不是简单曲线。这个定理又称柯西积分定理。CB柯西-古萨基本定理成立的条件之一是曲线C要属于区域B。如果曲线C是B的边界,函数f(z)在B内与解析，甚至f(z)在B内解析,在闭区域B+C上连续,则f(z)在边界上C上解析，即在闭区域B+C上的积分仍然有[解]由积分运算的性质可知的正向例计算积分其中利用柯西－古萨基本定理因此有§3基本定理的推广———复合闭路定理在上一节中，讨论了柯西-古萨定理是在单连通域里，现将柯西-古萨基本定理推广到多连通域的情况。设函数f(z)在多连通域D内解析，C为D内的任意一条简单闭曲线，当C的内部不完全含于D时，沿C的积分设C及C1为D内任方向)简单闭曲线,C1就不一定为零。意两条(正向为逆时针在C内部,且以C及C1为边界的区域D1全含于D。DCC1AA'BB'D1FEE'F'其中A,B在C上,A'B'D内的简单闭曲线。如右图，及在C1上构成两条全在作两条不相交的弧线,分析，得知将上面两等式相加,得DCC1AA'BB'D1FEE'F'DCC1AA'BB'D1FEE'F'将上面两式相加,得即或上式说明在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值,只要在变形过程中不经过函数闭路变形原理。看成一条复合闭路G,其正向为:上式说明如果将C及顺时针,则沿C逆时针,沿D变形过程中不能够经过f(z)不解析的点一重要事实，称为f(z)不解析的点。这闭曲线,C1,C2,...,Cn是在C内部的简单闭曲线,它们互不包含也互不相交,并且以C,C1,C2,...,Cn为边界的区域全含于D。如果f(z)在D内解析,则设C为多连通域D内的一条简单定理(复合闭路定理)1i)()()knkCCfzdzfzdz均取正方向；，其中C与为由C及Ck(k=1,2,...,n)DCC1C2C3所组成的复合闭路(C按顺时针,Ck按逆时针)。例如从本章§1的例2知:当C为以z0为中心的正向所以，根据闭路变形原理，对于包含z0的任何一条正向简单曲线都有：圆周时,[解]函数的任何正向简单闭曲线。是处处解析的。线,因此,它也包含这两个奇点。在G内作两个互不包含也互不相交的正向圆周C1与C2，C1只例计算的值,为包含圆周|z|=1在内在复平面内除z=0和z=1两个奇点外由于是包含着圆周|z|=1在内的任何正向简单闭曲xyO1GC1C2包含奇点z=0，C2只包含奇点z=1。则根据复合闭路定理可得从这个例子可以看到：借助于复合闭路定理，有些比较复杂的函数的积分可以化为比较简单的函数的积分来计算它的值。这是计算积分常用的一种方法。xyO1GC1C2[解]函数的正向。外是处处解析的。C内作三个互不包含也互不相交的正向圆周C1，C2，C3，C1只包含例计算在复平面内除z=0,i,-i三个奇点由于C是圆周|z-3|=1,它包含这三个奇点。因此在奇点z=0，C2只包含奇点z=i，xyOiCC1C2C3-iC3只包含奇点z=-i。则根据复合闭路定理可得xyOiCC1C2C3-i[解]函数的正向。外是处处解析的。C内作三个互不包含也互不相交的正向圆周C1，C2，C3，C1只包含例计算在复平面内除z=0,i,-i三个奇点由于C是圆周|z-3|=1,它包含这三个奇点。因此在奇点z=0，C2只包含奇点z=i，xyOiCC1C2C3-iC3只包含奇点z=-i。则根据复合闭路定理可得xyOiCC1C2C3-i§4原函数与不定积分z1z2BC1C2z1z2C1C2B定理一如果函数f(z)在单连通域B内处处解析,则积分与连接起点及终点的路线C无关。由定理一可知,解析函数在单连通域内的积分只与起点z0和终点z1有关,如图所示,有z1z2BC1C2z1z2C1C2B固定z0，让z1在B内变动，令z1=z，则积分在B内确定了一个单值函数对这个函数我们有下面的定理。[证]从导数的定义出发来证。设z为B内任意一点,以z为中心作一含于B内的小圆K,取定理二如果f(z)在单连通域B内处处解析,则函数F(z)必为B内的一个解析函数,并且在K内。于是可得充分小使z+DzzKzz0z+DzzKzz0,存在,当即时,总有又任给又因从而有因此根据积分的估值性质有这就是说即这个定理跟微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似在此基础上，也可以得出类似于微积分学中的基本定理和牛顿-莱布尼兹公式。先引入原函数的概念。容易证明，f(z)的任何两个原函数相差一个常数。设G(z)和H(z)是f(z)的何任两个原函数,则定义如果函数在区域D内的导数等于f(z),,则称为f(z)在区域B内的原函数。定理二表明是f(z)的一个原函数。所以c为任意常数。因此,如果函数f(z)在区域B内有一个原函数F(z),即则，它就有无穷多个原函数,而且具有一般表达式F(z)+c，c为任意常数。可推得跟牛顿-莱布尼兹公式类似的解析函数积分计跟在微积分学中一样，定义：f(z)的原函数的一般形式F(z)+c(其中c为任意常数)为f(z)的不定积分,利用任意两个原函数之差为一常数这一性质，记作算公式。[证]因为也是f(z)的原函数,所以或当z=z0时,根据柯西-古萨基本定理,，因此有f(z)的的一个原函数,则如果f(z)在单连通域B内处处解析,G(z)为这里z0,z1为域B内的两点。定理三[解]原函数为zsinz+cosz。所以例1求积分的值函数zcosz在全平面内解析,容易求得它有一个有了原函数、不定积分和积分计算公式，复变函数的积分就可用跟微积分学中类似的方法去计算。在所设区域内解析。它的一个原函例2试沿区域数为，所以内的圆弧|z|=1,计算的值。积分[解]函数[解]例求下列积分的值:或[解]例1求下列积分的值:[解]例1求下列积分的值:§5柯西积分公式都是相同的。现在来求这个积分的值。设B为一单连通域，为B中一点。若f(z)在B内解形原理，这积分的值沿任何一条围绕的简单闭曲线析，则函数在不解析。所以在B内围绕的一条闭曲线C的积分一般不为零。又根据闭路变则取以z0为中心，半径为δ的很小的圆周既然沿围绕z0的任何简单闭曲线积分值都相同。(取其正向)作为积分曲线C。由于f(z)的连续性，在C上的函数f(z)的值将随着的值也将随着d的缩小而接近于其实两者是相等的,即因此有下面的定理。δ的缩小而逐渐接近于它在圆心z0处的值,从而可以猜想析，C为D内的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于D，z0为C内的任一点，则如果f(z)在区域D内处处解定理(柯西积分公式)DCKzz0R周K:|z-z0|=R全部在C的内部,时,,存在,当[证]由于f(z)在z0连续,任给设以z0为中心,R为半径的圆且。那么有对上式右边第二个式子整理可得这表明不等式右端积分的模可以任意小,只要R足够小就行了,根据闭路变形原理,该积分的值与R无关,所以只有在对所有的R积分值为零才有可能,因此,上式即为要证的式子。上式称为柯西积分公式。如果f(z)在简单闭曲线C所围成的区域内及C上解析，那么公式仍然成立。即即,解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值。如果C是圆周,则定理可变为[解]由公式有例求下列积分(沿圆周方向)的值：[解]由公式有例求下列积分(沿圆周方向)的值：[解]例求下列积分(沿圆周方向)的值：[解]被积函数例计算积分C分