自动控制原理第2章习题解

习题22-1试证明图2-77(a)所示电气网络与图277(b)所示的机械系统具有相同的微分方程。图2-77习题2-1图证明：首先看题2-1图中(a)sUsUsUCRRsUCsRsCsUsURsIRRRR11sIsCRsUC221sUsUsCRsCRsUCRC112211sUsCRsCRsUsCRsCRRC1122112211111sURsCRsCsCRsURsCRsCsCRRC111222111222111112-2试分别写出图2-78中各有源网络的微分方程。图2-78习题2-2图解：(a)tuRtuRdttduCorr211(b)tuRdttduCtuRro2o111(c)tudttduCRtuRrcc2112-3某弹簧的力一位移特性曲线如图2-79所示。在仅存在小扰动的情况下，当工作点分别为x0=-1.2，0，2.5时，试求弹簧在工作点附近的弹性系数。解：由题中强调“仅存在小扰动”可知，这是一道非线性曲线线性化处理的问题。于是有，在x0=-1.2，0，2.5这三个点处对弹簧特性曲线做切线，切线的导数或斜率分别为：1）35.5625.2805.175.040402.1xdxdf2）20020400xdxdf3）65.2155.0320355.2xdxdf2-4图2-80是一个转速控制系统，其中电压u为输入量，负载转速ω为输出量。试写出该系统输入输出间的微分方程和传递函数。解：根据系统传动机构图可列动态如下：tuKdttdiLtRire(1)iKTTem(2)dtdJTiKTTLTLem(3)将方程(3)整理后得：dtdKJTKiTLT1(4)将方程(4)代入方程(1)后得：tuKdtdKLJdtdTKLdtdKRJTKRreTLTTLT22(5)将方程(5)整理后得：dtdTKLTKRtuKdtdKRJdtdKLJLTLTreTT22(6)2-5系统的微分方程组如下式中，r，K-，K2，K。，Kn，Kj，T均为常数。试建立系统r(f)对c(f)的结构图，并求系统传递函数C(s)／R(s)。解：首先画系统结构图，根据动态方程有：然后，根据梅逊公式得：11111111111543314321432543343214321TssKKKTssTsKTssKsKKKTssTssTssKsKKKTssKKKsKTsKsKKKsTsKsKKKssRsC543343213432214321KKKKKKKKsTKKKKTsKsKKKsRsC26图2-8l是一个模拟调节器的电路示意图。X1(s)X2(s)X2(s)X3(s)X4(s)X5(s)C(s)τs+K1K2K3/sK4/(Ts+1)K5①写出输入ui，与输出uo之间的微分方程；②建立该调节器的结构图；③求传递函数Uo(s)／Ur(s)。解：根据电路分析需要，引入中间变量vo1(t)，vo2(t)，然后，由电路图可知：sUsCRRsURsUio1121o11（1）ssUCRsUo223o1（2）sURRsUo245o（3）采用代入法，将上述3个方程联立求解得：sUsUsCRsCRRRRRsUsURsCRRsCRRRsUoi12243152oi11222345o1111sUsCRRsCRsCRRRRRsUi15212243152o112243115224311243151522431212243152io1CRCRRRCRRCRRRssCCRRRRsCRRsCRRRsCRCRRRRRsUsU2-7某机械系统如图2-82所示。质量为m、半径为R的均质圆筒与弹簧和阻尼器相连(通过轴心)，假定圆筒在倾角为α的斜面上滚动(无滑动)，求出其运动方程。解：首先，对圆辊进行受力分析；根据分析结果可知：-Kx1mgsinα-Bdx1/dtmgmgcosαN21211sindtxdmdtdxBKxmgsin11212mgKxdtdxBdtxdm28图2-83是一种地震仪的原理图。地震仪的壳体固定在地基上，重锤M由弹簧K支撑。当地基上下震动时，壳体随之震动，但是由于惯性作用，重锤的运动幅度很小，这样它与壳体之间的相对运动幅度就近似等于地震的幅度，而由指针指示出来。活塞B提供的阻尼力正比于运动的速度，以便地震停止后指针能及时停止震动。①写出以指针位移y为输出量的微分方程；②核对方程的量纲。解：首先，对重锤进行受力分析；根据分析结果可知：22dtydmdtdyBKymgmgKxdtdxBdtxdm1121229试简化图2-84中各系统结构图，并求传递函数c(s)／R(s)。图2-84习题2-9图解：(a)，根据梅逊公式得：前向通道传递函数Pk：sGsGP211；sGsGP232回路通道传递函数Li：sHsGsGL2211；sHsGL122特征方程△：sHsGsHsGsGLi1222111由于回路传递函数都与前向通路相“接触”，所以。余子式：121系统传递函数为：sHsGsHsGsGsGsGsGsGsRsCs1222132211(b)，根据梅逊公式得：前向通道传递函数Pk：sGsGP211；回路通道传递函数Li：sHsGL111；sHsHL212特征方程△：sHsHsHsGLi211111由于回路传递函数L2与前向通路相“不接触”，所以。余子式：sHsH2111系统传递函数为：sGsHsHsHsGsHsHsGsRsCs2211121111(c)，根据梅逊公式得：前向通道传递函数Pk：sGsGsGsGP43211；回路通道传递函数Li：sHsGsGsGsGL143211；sHsGsGsGL23212sHsGsGL3323sHsGsGL4434特征方程△：sHsGsGsHsGsGsHsGsGsGsHsGsGsGsGLi44333223211432111由于回路传递函数都与前向通路相“接触”，所以。余子式：11系统传递函数为：sHsGsGsHsGsGsHsGsGsGsHsGsGsGsGsGsGsGsGsRsCs443332232114321432112-10试用梅逊公式求解习题2-9所示系统的传递函数C(s)／R(s)。2-11系统的结构如图2-85所示。①求传递函数C1(s)/RI(s)，C1(s)/R2(s)，C2(s)/RI(s)，C2(s)R2(s)，②求传递函数阵G(s)C(s)=G(s)R(s)，其中sGsGs21G，sRsRs21R。解：C1(s)/RI(s)，根据梅逊公式得：前向通道传递函数Pk：sGsGsGP3211；sGsGsGsGsGP385712；回路通道传递函数∑Li：sGsGL331；sGsGsGL8572sHsGL253相互“不接触”回路∑LiLj：sGsGsGsGsGLL8573321sHsGsGsGLL253331特征方程△：jiiLLL1sHsGsGsGsGsGsGsGsGsHsGsGsGsGsGsG25338573325857331由于回路传递函数都与前向通路相“接触”，所以。余子式：11系统传递函数为：11sC2-12试求图2-86所示结构图的传递函数C(s)／R(s)。解：C1(s)/RI(s)，根据梅逊公式得：前向通道传递函数Pk：sGP11；sGP22；sGsGP213；sGsGP214；回路通道传递函数∑Li：sGL11；sGL22；sGsGL213；sGsGL214；sGsGL215图2-85习题2-11图图2-86习题212图特征方程△：jiiLLL1sGsGsGsG212131特征方程余子式△k：14321系统的传递函数为：sGsGsGsGsGsGsGsGsRsCs212121213122-13已知系统结构如图2-87所示，试将其转换成信号流图，并求出c(s)／R(s)。解：(a)根据梅逊公式得：sHsGsHsGsHsGsHsGsGsGsRsCs22112211211(b)根据梅逊公式得：sHsGsHsGsGsGsRsCs22112112-14系统的信号流图如图2-88所示，试求C(s)／R(s)。图2-89习题2-15图解：(a)根据梅逊公式得：图2-88习题2-14图KsssKssKssKsssssKssKsRsCs5.05.35.05.25.015.015.21115.0115.0232222(b)根据梅逊公式得：sHsGsHsGsGsGsRsCs22112112-15某系统的信号流图如图2-89所示，试计算传递函数C2(s)/R1(s)。若进一步希望实现C2(s)与R1(s)解耦，即希望C2(s)/R1(s)=0。试根据其他的Gi(s)选择合适的G5(s)。解：sHsGsGsHsGsGsHsGsGsHsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsRsC24312124312145143621121若希望C2(s)/R1(s)=0，则有045143621sGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsG36252-16已知系统结构图如图2-90所示。①求传递函数C(s)/R(s)和C(s)/N(s)。②若要消除干扰对输出的影响(即C(s)/N(s)=0，问G0(s)=?解：①由结构图可知C(s)/R(s)3213213213211111KKKTssKKKTssKKKTssKKKsRsC②由结构图可知C(s)/N(s)32134032132134321011111KKKTsssK