纳什均衡存在性定理中的相关解释

纳什均衡存在性定理中的相关解释教材（《经济博弈与应用》）p33，图2.1表明不动点是曲线f与45o线的交点。当函数xf定义在1,0x区间上且因变量xfy的值域也为1,0区间时，如果xf是连续的，则必然存在不动点。图2.1[0,1]区间上的自变换函数的不动点直接用来证明纳什存在性定理的不动点定理不是Brouwer不动点定理，而是角谷静夫(Kakutani)不动点定理。定义1S是凸的(Convex)当且仅当对任意的MMRyRx,及满足10的，只要Sx和Sy，则有Syx1定义2S是闭的(Closed)当且仅当对每个收敛的序列1jjx，如果对每个j都有Sjx，则有Sjxjlim定义3RM中的子集S是开的(open)当且仅当它的补集RM/S是闭的。定义4S是有界的(bounded)当且仅当存在某个正数K使得对S中的每个元素x都有MmmKx定义5当函数xf满足下述性质时，我们称其为凹的：nRxxxfxfxxf212121,1,0,11如果当1,0时上面的不等式严格成立，则称xf为严格凹的。一个函数xf是凸的当且仅当函数-xf是凹的；xf为严格凸函数当且仅当-xf为严格凹函数。45of(x)x*10x*020406080100第一季度第二季度第三季度第四季度东部西部北部)(xfx1拟凹函数是凹函数概念的一种推广，它包括了凹函数在内的一大类函数，而这类函数在经济学中有着广泛应用，关于拟凹函数的定义如下：定义6函数xf定义在Rn中的子集D上，当且仅当xf满足如下性质时，xf是拟凹的：2121,min1xfxfxxf[0,1]显然，凹函数是拟凹的，但反过来并不成立，即拟凹函数不一定是凹函数。在下图中，函数xf是拟凹的，但不是凹的。图不是凹函数的拟凹函数x1y0x2xxf