线性代数11二阶三阶行列式

第一章行列式用消元法求解二、三元线性方程组二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式的特征刻画n阶行列式的特征刻画行列式的性质，行列式按行（列）展开克拉默法则用消元法解二元线性方程组11112212112222,.axaxbaxaxb12:122a,2212221212211abxaaxaa:212a,1222221212112abxaaxaa两式相减消去，得2x一、二阶行列式1、引入;212221121122211baabxaaaa）（类似的，消去，得1x,211211221122211abbaxaaaa）（方程组的解为，211222112122211aaaabaabx）（3.211222112112112aaaaabbax由方程组的四个系数确定.112212210aaaa当时，2、定义Def由四个数排成二行二列（横排称行、竖排11122122aaaa所确定的表达式称列）的数表11221221aaaa11122122aaaa称为二阶行列式，记为,22211211aaaaD11a21a22a21a主对角线副对角线2211aa若记11112212112222,.axaxbaxaxb对于二元线性方程组系数行列式.2112aa3、计算1）对角线法则行标列标.,22221211212111bxaxabxaxa11122122,aaDaa11112212112222,.axaxbaxaxb11122122,aaDaa.2211112babaD记1121222,baDba记则二元线性方程组的解为1122221111122122,babaDxaaDaa1112122211122122.ababDxaaDaa系数行列式系数行列式例13214例2122D问：.0D2.0D1为何值时，）当（为何值时，）当（142)1(34解因此，可得，212D22.2,0,022则.0D202.0D201时，且）当（时，或）当（例3.03,12121xxxx求解二元线性方程组解1311D,0210111D,103112D,3DDx11,21DDx22.23例4(同教材例1）.12,12232121xxxx求解二元线性方程组解1223D)4(3,07112121D,14121232D,21DDx11,2714DDx22.37211、定义二、三阶行列式（6）式称为数表（5）所确定称为三阶行列式.111213212223313233aaaaaaaaa记为111213212223313233aaaaaaaaa构成数表（5）112233122331132132aaaaaaaaa（6）确定一个表达式，由九个数排成三行三列（横排称行、竖排称列）112332122133132231aaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa2、计算对角线法则332211aaa.322311aaa322113aaa312312aaa312213aaa332112aaa说明1对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．123405106D解按对角线法则，有10625(1)34015024630(1)D例4求行列式104858000.101abba解按对角线法则，有例5a、b满足什么条件时，有22Dab若要220ab，00ab当且时，a则与b必须同时等于0，因此，给定的行列式等于0;,,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa若系数行列式333231232221131211aaaaaaaaaD,0,3332323222131211aabaabaabD,3333123221131112abaabaabaD3、三元线性方程组.3323122221112113baabaabaaD则,11DDx,22DDx.33DDx例7解线性方程组12312312330,222,1.xxxxxxxxx解由于方程组的系数行列式为311212111D3(1)1D121(1)21(1)(1)11213212,0且同理可得10112121111D230122212111D33102129111D故方程组的解为:111,2DxD226,DxD339.2DxD其中为将系数行列式的第i列分别用常数项来代替而得的新的行列式.123,,DDD例8解线性方程组.0,132,22321321321xxxxxxxxx解由于方程组的系数行列式111312121D1111321211111221315,0同理可得1103111221D,51013121212D,100111122213D,5故方程组的解为:,111DDx,222DDx.133DDx三小结二、三阶行列式计算按照对角线法则计算二、三元一次线性方程组，利用行列式的前提是各种题型归结在一起就是要计算行列式的值0D322113312312332211aaaaaaaaa332112322311312213aaaaaaaaa1112112212212122.aaDaaaaaa111213212223313233aaaDaaaaaa一、概念的引入引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解123123百位3种放法十位1231个位1232种放法1种放法种放法.共有6123二、排列与其逆序数同的排法？，共有几种不个不同的元素排成一列把n问题定义个不同的元素的所有排列的种数，通常用表示.nnP由引例1233P.6nPn)1(n)2(n123!.n同理由数码1,2,3,…,n组成的一个n元有序数组，称为一个n级排列。在一个排列中，若数则称这两个数组成一个逆序.nstiiiii21tsii例如排列32514中，定义我们规定各元素之间有一个标准次序,n个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.排列的逆序数32514逆序逆序逆序定义一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.记为例如排列32514中，排列的逆序数为12()nNiii(32514)2125N逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.排列的奇偶性奇排列计算排列逆序数的方法按顺序分别计算出排列中每个元素后面比它小的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.例1求排列32514的逆序数.解在排列32514中,3排在首位,后面比它小的数有2、1，逆序数为22的后面比2小的数只有一个1,故逆序数为1;方法13251421200于是排列32514的逆序数为N(32514)21200.55的后面比5小的数2个,故逆序数为2;1的后面比它小的数没有,故逆序数均为0.4的后面没有数值了，,故逆序数为0.练习计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.2179863541解N(217986354)10454301018此排列为偶排列.321212nnn解nn(1)(2)21,21nn当时为偶排列；14,4kkn当时为奇排列.34,24kkn12321Nnnn方法2分别计算出排在前面比它大的数码之和,即分别算出这个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数.n,n,,,121n,n,,,121n例1求排列32514的逆序数.解在排列32514中,3排在首位,前面比它大的数没有2，逆序数为02的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;5的前面比5大的数0个,故逆序数为0;1的前面比它大的数有三个3、2、5,故逆序数均为3.4的前面比4大的数只有一个5，,故逆序数为1.于是排列32514的逆序数为：0+1+0+3+1=5练习1.求排列16352487的逆序数.2.求下面排列的逆序数.(21),(23),,5,3,1,2,4,6,,(22),(2)nnnn从前往后求排在元素后面且比元素小的数的个数，而后求和.nnn(22)(24)(26)42nn(1)(222)2解((21),(23),,5,3,1,2,4,6,,(22),(2))Nnnnn(1)nn