线性代数Maple实验梁燕来,胡源艳

124附录Maple数学实验Maple是目前世界上最为通用的数学和工程计算软件之一,Maple系统内置高级技术解决建模和仿真中的数学问题,包括世界上最强大的符号计算、无限精度数值计算、创新的互联网连接、强大的4GL语言等,内置超过5000个计算命令,数学和分析功能覆盖几乎所有的数学分支,如微分方程、特殊函数、线性代数、图像声音处理、统计和动力系统等.Maple不仅仅提供编程工具,更重要的是提供数学知识.Maple都可以帮助您快速、高效地解决类似从简单的数字计算到高度复杂的非线性问题等,用户通过Maple产品可以在单一的环境中完成多领域物理系统建模和仿真、符号计算、数值计算、程序设计、技术文件、报告演示、算法开发、外部程序连接等功能,满足各个层次用户的需要,从高中学生到高级研究人员.安装Maple软件后,启动Maple进入默认的用户主界面,该界面包括两个主要的窗口:命令窗口（Commanddirectory）,工具窗口（Tooldirectory）,如图5.1所示.图5.1用户主界面图5.2命令窗口命令窗口是和其编译程序连接在一起的主要窗口,点击工具栏中“[”提示符后,Maple就处于准备状态,在提示符后输入正确的的运算表达式后,只需按工具栏的“！”工具(或Enter键),命令窗口就会显示运算结果,如图5.2所示.Maple语言和其他高级程序设计语言一样，都具有类似的基本程序结构，不管多复杂的计算都是由一系列语句组成,这些语句有的是顺序依次执行的,有的需在特定的地方循环、选择、跳转执行.下面逐一介绍这些基本结构.1251．顺序结构顺序结构，是程序语句书写的先后顺序，是流程控制语句中最简单的一类。2．选择结构所谓选择结构,常称为分支结构,是指在程序执行时,依据不同的条件,从两个或多个程序块中选择其中一个执行.if条件结构的语法为:if条件1then程序块1；elif条件2then程序块2；else程序块3；fi;其中,fi是条件语句的结束标志,也可以写作endif.此语句是一个三分支结构.若条件1为真,则执行程序块1;若条件1为假,条件2为真,则执行程序块2;若条件1和条件2都为假,则执行程序块3.例如,判断两个数中较大者:bigger:=proc(a,b)ifa=bthena;elseb;fi;end;bigger(3,5);#函数调用运行以上程序后结果为:53．for循环在程序设计中,常常需要把相同或者类似的语句连续执行多次,此时,可以通过for循环结构更便捷地编写程序.例如,求1至5自然数的和:total:=0;forifrom1to5dototal:=total+i;od;#循环体的结束标志od(也可以写作enddo).其中,i为循环变量,用于控制循环次数；do与od之间的一条或多条语句,称为循126环体,是要反复执行的语句.for循环结构的语法可总结为:for循环变量from初值to终值[by步长]do循环体od在for循环结构中,初值和终值一般是整数,若初始值或步长是1则都可以省略.4．while循环for循环是在那些已知循环次数,或者循环次数可以用简单表达式计算的情况下比较适用.但有时循环次数并不能简单地给出,要通过计算,判断是否继续循环,这时,可以使用while循环.while循环标准结构为:while条件表达式do循环体odMaple先判断条件是否成立,若成立就一遍遍执行循环体,直到条件不成立为止.例如,辗转相除法计算两个自然数的最大公约数.GCD:=proc(a::posint,b::posint)localp,q,r;p:=max(a,b);q:=min(a,b);r:=irem(p,q);whiler0dop:=q;q:=r;r:=irem(p,q);od;q;end;GCD(6,9);运行以上程序后结果为:35．递归子程序正如在一个子程序中可以调用其他的子程序一样(比如系统内部函数),一个子程序也可以在它的内部调用它自己,这样的子程序称为递归子程序.例如,递归定义Fibonacci数列:fib:=proc(a::posint)locali,x;ifa=1ora=2thenx:=1;elsex:=fib(a-1)+fib(a-2);#递归调用fiend;fib(10);#调用该函数，输出Fibonacci数列的第10项运行结果为:55127实验一矩阵的输入与特殊矩阵生成1．矩阵输入建立矩阵的方法主要有:1)matrix(m,n,[a11,a12,…a1n,a21,…a2n,…,am1,…,amn])例6.1.1建立一个2行2列矩阵A=4321.A:=matrix(2,2,[1,2,3,4]);执行以上指令后命令窗口显示为:2)array(1..m,1..n,[[a11,…,a1n],…,[am1,…,amn]])例6.1.2建立矩阵B=)cos()sin()cos()sin(.B:=array([[sin(alpha),cos(beta)],[sin(beta),cos(alpha)]]);例6.1.3输入3行3列矩阵C,使其元素为jiaji32,.f:=(i,j)-i^2+j^3;C:=matrix(3,3,f);2．矩阵元素操作完成矩阵元素输入后,对矩阵的操作主要包括矩阵的合并、矩阵部分元素删除、矩阵元素提取、矩阵元素的扩充等,下面作简单介绍.1)取子阵submatrix(A,m..n,r..s):取矩阵A的m到n行、r到s列组成的子阵.例6.1.4在上例的矩阵C中取1到2行、1到2列得到子阵E.128with(linalg);E:=submatrix(C,1..2,1..2);2)取行列row(A,i):取矩阵A的第i行.row(A,i..k):取矩阵A的第i到k行.col(A,i):取矩阵A的第i列.col(A,i..k):取矩阵A的第i到k列.3)矩阵扩展例6.1.5对例6.1.1中的矩阵A扩展2行2列并用0填充.extend(A,2,2,0);4)矩阵合并例6.1.6将矩阵A和矩阵B合并成一个矩阵.concat(A,B);#或执行A|B,水平方向上合并.stackmatrix(A,B);#竖直方向上合并.5)删除行列delrows(A,i,k):删除矩阵A中i到k行剩下的子矩阵.delcols(A,i,k):删除矩阵A中i到k列剩下的子矩阵.3．矩阵初等变换129矩阵的初等变换是各种消去法的基础,是求解线性方程组的基础.此时就需调用线性代数工具包linalg中的初等变换函数.1)行(列)交换swaprow(A,i,j):互换矩阵A的第i行和第j行.swapcol(A,i,j):互换矩阵A的第i列和第j列.with(linalg);A:=matrix(3,3,[1,2,3,4,5,6,7,8,9]);swaprow(A,2,3);swapcol(A,2,3);2)行(列)数乘mulrow(A,r,expr):用标量expr乘以矩阵A的第r行.mulcol(A,c,expr):用标量expr乘以矩阵A的第c列.A:=matrix(3,3,[1,2,3,4,5,6,7,8,9]);mulrow(A,2,5);mulcol(A,2,6);1303)行(列)倍加addrow(A,r1,r2,m):将矩阵A的第r1行的m倍加到第r2行上.addcol(A,c1,c2,m):将矩阵A的第c1列的m倍加到第c2列上.addrow(A,1,2,-2);4)化阶梯形gausselim(A):用高斯消元法化矩阵A为行阶梯形,结果为上三角阵.gausselim(A,'r'):化A为阶梯形后要求返回A的秩r.gausselim(A,'r','d'):要求返回A的秩r,同时返回A的行列式d.rref(A):化矩阵A为最简行阶梯形矩阵.例6.1.7将矩阵A=812545627854化为最简行阶梯形矩阵.matrix(3,4,[4,5,8,7,2,6,5,4,5,2,1,8]);B:=rref(A);4．特殊矩阵的生成adj(A):生成A的伴随矩阵.DiagonalMatrix(V,m,n):生成m行n列对角矩阵,其中V是一个向量.DiagonalMatrix([1,2,3,4,5|6,7],6,6);131diag(1,2,3,4,5);#以1,2,3,4,5为对角元的对角矩阵fibonacci(m):生成m阶fibonacci矩阵.HilbertMatrix(m,n,x):生成m行n列希尔伯特矩阵.HilbertMatrix(2,3,x)IdentityMatrix(m):生成m单位阵,或array(identity,1..m,1..m).with(linalg);IdentityMatrix(3);randmatrix(m,n):生成一个m行n列的随机矩阵.VandermondeMatrix(V):生成范德蒙矩阵,其中V是一个向量.ZeroMatrix(m,n):生成m行n列的零矩阵，或array(1..m,1..n,sparse).实验题目1.输入矩阵A=352518312920138526171052,并提取矩阵的第2行和第3行元素.2．生成一个1210的随机矩阵.实验二矩阵的运算1．矩阵的代数运算如果已经输入矩阵A和B,则可采用下列命令进行计算.运算函数等效的函数加法matadd(A,B)evalm(A+B)数乘scalarmul(b,expr)evalm(b*expr)乘法multiply(A,B,…)evalm(A&*B&*…)逆运算inverse(A)evalm(1/A)或evalm(A^(-1))转置transpose(A)无132例6.2.1设A=4311102332,B=153220101,求A+B、AB、A-1B、A’.A:=matrix(3,3,[2,3,-3,2,0,11,-1,3,4]);B:=matrix(3,3,[-1,0,1,0,2,2,3,5,1]);matadd(A,B);multiply(A,B);multiply(inverse(A),B);transpose(A);2．矩阵的特征参数运算在科学计算时,常用到矩阵的特征参数,在Maple中计算命令为：rank(A)求矩阵A的秩,trace(A)求矩阵A的迹,det(A)求矩阵A的行列式,cond(A)求矩阵A的条件数.实验题目1.设A=512375123,B=532012321,求A+B、AB、A2、BA-1、A’.2.求向量组(2,-3,2,-1)T,(2,3,-1,4)T,(3,1,1,-2)T,(2,-2,0,3)T,(2,1,-2,1)T的秩.133实验3线性方程组的求解利用Maple软件可以轻松实现线性方程组的求解.其过程如下:首先利用Maple软件线性代数函数包linalg中的函数genmatrix,从线性方程组中生成系数矩阵或增广矩阵,然后用函数gausselim将矩阵化为行阶梯矩阵,进一步用函数rref将其化为简化行阶梯矩阵,最后用函数backsub执行回代任务,即可求出线性方程组的解向量.例6.3.1求线性方程组543215415326521642531xxxxxxxxxxxxxxxx的全部解.with(linalg);eq:={x1-x3+x5=1,x2-x4+x6=2,x1-x2+x5-x6=3,x2-x3+x5=4,x1-x4+x5=5};A:=genmatrix(eq,[x1,x2,x3,x4,x5,x6],’flag’);B:=gausselim(A);C:=rref(B);backsub(C,false,’t’);可以看到,Maple用辅助变量t1