线性代数习题集

1一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1．二阶行列式1k221k≠0的充分必要条件是（C）A．k≠-1B．k≠3C．k≠-1且k≠3D．k≠-1或≠32．设A为三阶矩阵，|A|=a≠0，则其伴随矩阵A*的行列式|A*|=（B）A．aB．a2C．a3D．a43．设A、B为同阶可逆矩阵，则以下结论正确的是（A）A．|AB|=|BA|B．|A+B|=|A|+|B|C．（AB）-1=A-1B-1D．（A+B）2=A2+2AB+B24．设A可逆，则下列说法错误．．的是（C）A．存在B使AB=EB．|A|≠0C．A相似于对角阵D．A的n个列向量线性无关5．矩阵A=0112的逆矩阵的（A）A．2110B．1111C．2110D．21106．设α1=[1，2，1]，α2=[0，5，3]，α3=[2，4，2]，则向量组α1，α2，α3的秩是（C）A．0B．1C．2D．37．设α1，α2是非齐次方程组Ax=b的解，β是对应的齐次方程组Ax=0的解，则Ax=b必有一个解是（D）A．α1+α2B．α1-α2C．β+α1+α2D．β+2121218．若A=100010002Bx10100002与相似，则x=（B）2A．-1B．0C．1D．29．若A相似于1001，则|A-E|=（B）A．-1B．0C．1D．210．设有实二次型f(x1,x2,x3)=2322xx，则f（）A．正定B．负定C．不定D．半正定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。|2B^-1*A^2*B|=2^3|B^-1*B|*|A|=8*|E|*2=1611．设A，B均为三阶可逆阵，|A|=2，则|2B-1A2B|=___16______.12．在五阶行列式中，项a21a32a45a14a53的符号为_____-1_____.13．设A=dcba，则A*=_____acbd____.14．设三阶方阵A等价于000010001，则R（A）=____2_____.15．设α1=[1，2，x],α2=[-2，-4，1]线性相关，则x=____-1\2_____.16．矩阵111[1-11]的秩为_____1____.17．设λ0是可逆阵A的一个特征值，则A-2必有一个特征值是____1\λ0^2_____.18.已知齐次方程组A4×5χ=0的基础解系含有3个向量，则R（A）=___3______.19．已知三阶矩阵A的三个特征值是-1，1，2，则|A|=____-2_____.20．二次型f(x1,x2,x3)=21x-2x1x2+x2x3的矩阵是_________.三、计算题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）21．求行列式3214214314324321322．设A=111011001求（1）（A+2E）-123．求向量组α1=[1，-1，2，4]，α2=[0，3，1，2]，α3=[3，0，7，14],α4=[1，-1，2，0]的秩，并求出向量组的一个最大线性无关组。24．设有非齐次线性方程组1x2x3xxax4xxx2xx2x43214321431问a为何值时方程组无解？有无穷解？并在有解时求其通解.25．设A=31213011x的特征值是λ1=λ2=2，λ3=4.（1）求x;（2）A是否相似于对角阵，为什么？26．设二次型f(x1,x2,x3)=232232221xax2x3x3x（其中a0）可通过正交变换化为标准型232221y5y2y，求参数a及所用的正交变换.四、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）27．设向量组α1，α2，α3线性无关，证明α1+α2，α1-α2，α3也无关.28．设A为n阶正定矩阵，B为n阶半正定矩阵，证明A+B为正定矩阵14．设向量组α1=（1，-3，α），α2=（1，0，0），α3=（1，3，-2）线性相关，则a=__________.15.若3元齐次线性方程组Ax=0的基础解系含2个解向量，则矩阵A的秩等于__________.20．实对称矩阵A=530302021所对应的二次型xTAx=__________.三、计算题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）22．设矩阵A=730210005，B=12201010，求矩阵方程XA=B的解X.25．设矩阵A=4141.（1）求矩阵A的特征值和特征向量；（2）问A能否对角化？若能，求可逆矩阵P及对角矩阵D，使P-1AP=D.426．设,xx4xx2xax2x4x4xf323121232221（1）确定α的取值范围，使f为正定二次型；（2）当a=0时，求f的正惯性指数p和负惯性指数q.四、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）27．设A，B为同阶对称矩阵，证明AB+BA也为对称矩阵.28．若向量组α1，α2，α3可用向量组β1，β2线性表出，证明向量组α1，α2，α3线性相关.1．行列式543432321的值为（）12．421023010112=__________。13．设A=3041，则A-1=__________。14．设1=（1，2，4），2=(-1,-2,y)且1与2线性相关，则y=__________。15．设1=（1，1，1），2=（1，1，0），3=（1，0，0），4=（1，2，-3），则秩（1，2，3，4）=__________。17．已知A=x10100002与B=1000y0002相似，则x=__________。18．若向量α=（1，-2，1）与β=（2，3，t）正交，则t=__________。19．已知三阶实对称矩阵A有三个特征值2,1,-2,B=A2+2E，则B的特征值是__________。20．二次型f(x1，x2，x3，x4)=24412121x5xx3xxx的对称矩阵是__________。三、计算题(本大题共6小题，每小题8分，共48分)22．设A=321011330且AB=A+2B，求B。523．设向量组：1=（-1，-1，0，0）T，2=（1，2，1，-1）T，3=（0，1，1，-1）T、4=（1，3，2，1）T、5=（2，6，4，-1）T，试求向量组的秩及其一个极大线性无关组。24．讨论p取何值时，下列线性方程组无解？有解？并在有解时求其通解。pxx3x3x4x53x6x2x2x0x3xxx2x31xxxxx543215432543215432125．已知A=2b13a5212的一个特征向量是=(1，1，-1)T（1）确定a,b以及的特征值。（2）求r(A)。26．用正交变换化二次型f(x1，x2，x3)=232232221xx4x3x3x为标准型，并写出所用的正交变换。四、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）27．设方阵A满足A2-A-2E=0，证明A可逆，并求其逆阵。28．设321,,是齐次方程组Ax=0的基础解系，证明21,321,也是Ax=0的基础解系。