线性代数基础讲义

2015考研数学线性代数基础讲义第一章行列式一．基本内容1．排列与逆序定义：由n个自然数1,2,3,...,n组成的无重复有序实数组称为一个n级排列。定义：在一个n级排列中，如果一个较大数排在一个较小数前面，我们就称这两个数构成一个逆序。对于逆序，我们感兴趣的是一个n级排列中逆序的总数，称为n级排列的逆序数，记作。2.行列式的定义个数（）排成的行列的方形表称为一个n阶行列式。它表示所有取自不同行不同列的个元素乘积的代数和。3.行列式的性质（1）转置不改变行列式的值（2）行列式某行（列）元素的公因子可以提到行列式之外（3）行列式的分行（列）可加性（4）行列式两行（列）元素成比例，则行列式值为0（5）互换行列式的某两行（列）行列式的值改变符号（6）行列式某行（列）的倍加到另外一行（列），行列式值不变4.行列式的余子式、代数余子式划去元素所在的行、列，剩下的元素按照原来的顺序排成的n-1阶行列式称为的余子式，记为，称为的代数余子式。5.行列式的展开（1）展开定理（2）行列式某一行（列）每个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积的和等于0。二.基本结论（1）（2）12,,niii12,,niii12,,niii2nija,1,2,,ijn1212121112121222(,,,)12,,,12(1)nnnnnjjjjjnjjjjnnnnaaaaaaDaaaaaaijaijaijM(1)ijijijAMija1122iiiiininDaAaAaA1,2,,in1122jjjjnjnjaAaAaA1,2,,jn11220kikikninaAaAaAki11220kikinkniaAaAaAki1122nnaaa11112222******nnnnaaaaaa1112(1)2(1)2(1)111******nnnnnnnnnaaaaaaaaa三.基本题型与基本方法题型1：行列式的计算：行列式基本方法：利用性质及展开具体方法：方法一：三角法（利用性质将行列式化为三角型行列式）例方法二：降阶法（利用展开降阶）例第二章矩阵第一节矩阵及其运算一.基本内容1．矩阵概念1）定义2）特殊矩阵：（1）零矩阵：（2）阶方阵：（3）行矩阵（向量）、列矩阵（向量）：（4）对角矩阵、单位矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵：（5）对称矩阵、反对称矩阵：2．矩阵的运算1）线性运算：加法与数乘2）乘法：（1）乘法法则：（2）运算律：3）方阵的运算（1）方阵的幂及其运算律：（2）方阵的行列式4）转置：性质5）伴随矩阵性质：二、基本结论1．伴随矩阵的相关结论2．分块矩阵的逆4124120233200112D0111111nnaaDa12344000000axaaaxxDxxxx111212122212nnijmnmmmnaaaaaaAaaaa第二节可逆矩阵一、基本内容1．可逆的定义：2．阶矩阵可逆的充要条件：3．性质：二、基本题型与基本方法题型1：逆矩阵的计算与证明（具体矩阵、抽象矩阵）方法一：公式法求逆方法二：初等变换求逆：方法：例方法四：利用定义，求（证明）逆矩（抽象矩阵的情形中常见）例：n阶矩阵满足求第三节矩阵的初等变换与秩一、基本内容1．初等变换的定义：2．初等矩阵（1）定义：由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵（2）三种初等矩阵：（3）性质：初等矩阵都是可逆的，其逆仍是初等矩阵3．初等变换的本质（初等变换与初等矩阵的关系）4．矩阵等价1）定义：2）性质：5．矩阵的秩（1）定义：（2）性质：初等变换不改变矩阵的秩二、基本题型与基本方法题型：求矩阵的秩基本方法：初等变换法对矩阵作初等行变换，化为阶梯形，阶梯形中非零行的个数即为矩阵的秩。例求矩阵的秩第三章向量第一节向量组线性相关性一、基本内容1．向量及其运算（1）定义：（2）运算：2．线性表示、线性组合223110121A240AAE1()AE11110112343517bAa定义：3．向量间的关系的描述（线性相关、线性无关）定义：若存在一组不全为0的数，使得则称向量组线性相关，否则称为线性无关。2）结论（1）线性相关（无关）（2）含有零向量的向量组一定线性相关（3）向量组的一个部分组线性相关，则向量组一定线性相关向量组本身线性无关，则其任何一个部分组线性无关（4）m个n维向量构成的向量组，时向量组一定线性相关（5）线性无关，线性相关，则可由线性表示。二、基本题型与基本方法题型1：向量组线性表示的判定例题型2：向量组线性相关性的判定例判定向量组的线性相关性。第二节向量组的秩一、基本内容1．极大线性无关组与秩定义：2．向量组之间关系的描述（向量组等价）二、基本题型与基本方法题型：求向量组的极大无关组与秩方法：定义法、初等变换法（以向量组中各向量为列作矩阵，对矩阵作初等行变换，化为阶梯形）例：设向量组求（1）向量组的秩及一个极大无关组（2）把其余向量用该极大无关组表示出来第四章线性方程组第一节齐次线性方程组一、基本内容1．齐次线性方程组的定义：2．方程组的解：1）解的形式：零解、非零解2）解的线性性质：（1）（2）3．解的判定：仅有零解有非零解4．解的结构：1）基础解系的定义：2）基础解系特点及求法：12,,,nxxx11220nnxxx12,,,nmn12,,,n12,,,n12,,,n1(2,3,0)T2(1,4,0)T3(0,0,2)T1(1,2,3,1)T2(3,1,5,3)T3(5,0,7,5)T4(2,1,2,2)T1111221112200nnmmmnnaxaxaxaxaxax0mnAx对于方程组，若，则其一定有基础解系，且基础解系中一定含有个向量，故的通解为二、基本题型与基本方法题型：求的基础解系与通解方法：具体的，利用初等变换法解方程组抽象的，利用解的性质及结构例求的基础解系与通解第二节非齐次线性方程组1．非齐次线性方程组的定义：2．方程组的解：1）解的形式：无解、仅有一个解、无穷多个解2）解的线性性质：（1）（2）3．解的判定：4．解的结构二、基本题型与基本方法题型：求解求解方法：具体的，利用初等变换法解方程组抽象的，利用解的性质及结构例第一节方阵的特征值与特征向量一、基本内容1．内积（向量之间的一种运算）定义：2．正交组的概念：（1）向量正交的定义：（2）正交组、正交组与线性无关组的关系：3．Schmidt正交化方法：4．特征值与特征向量1）定义2）求法3）特征值与特征向量性质：（1）2）关于特征向量的线性无关性：属于不同特征值的特征向量一定线性无关具体表现为：二、基本结论，是其特征值，若，则一定有特征值0mnAx()rArnnr0mnAx1122nrnrxkkk123412341234030230xxxxxxxxxxxxAxb123412341234221245224xxxxxxxxxxxx121122()nnnaaatrA12nA()ijnnAa10()mmfAaAaAaE()fA()f三、基本题型与基本方法题型：求特征值与特征向量具体矩阵：利用特征多项式、特征方程法抽象矩阵：定义法、利用上述性质与结论求解例第二节相似矩阵与矩阵对角化一、基本内容1．相似矩阵1）定义：2）相似的性质：（1）A,B有相同的：（2）2．矩阵对角化1）定义：2）对角化的条件（1）充要条件：（2）充分条件：二、基本题型与基本方法题型：对角化的判定与计算例第六章二次型一、基本内容1．可逆（非退化）线性替换与正交替换2．合同矩阵1）定义：2）等价、相似、合同的关系：3．二次型的定义：称为一个n元二次型。4．二次型的标准形、规范形二、基本题型与基本方法题型：化二次型为标准型方法：配方法、正交变换法例324202423AABAB133353664A122212221A1111111nnnnnnnxcycyxcycyXCY212111121211(,,,)22nnnfxxxaxaxxaxx2222222nnaxaxx2nnnax2211nnfdydy222211pppqfzzzz2221231231223(,,)2442fxxxxxxxxxx222123123121323(,,)4484fxxxxxxxxxxxx