线性代数第一章第二节n阶行列式

1线性代数教师：陈新宏单位：数学与计算科学学院2问题：怎样定义n阶行列式?§1.2n阶行列式在一个排列中，若数则称这两个数组成一个逆序.nstiiiii21stii例如排列32514中，定义我们规定各元素之间有一个标准次序,n个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.一、排列的逆序数32514逆序逆序逆序4通俗的讲，逆序就是大前小后；如132中32构成一个逆序14325中43、42、32各构成一个逆序）（njjj...21定义一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数，记作：.3120)14325(例1求排列32514的逆序数.于是排列32514的逆序数为5212t32514122631114123）（601311263145）（练习.求逆序数1.2.3.）（321)1(nn4.）123（n07练习：计算）（321)1(nn123)2()1(nn)1(21nn）（321)1(nn8)42)22(2)12(13nnn（24)42(22nn）（)1(nn思考题目：求逆序数9二、奇、偶排列及其性质1.奇、偶排列：逆序数为奇（偶）数的排列称奇（偶）排列。2.对换：某两数位置互换称排列的一次对换。(23541)t因为所以23541是一个奇排列.41510例5求i，j使25i4j1为偶排列。解：6元排列使i、j只能取3或6；由于，（7)253461（偶数）（10)256431所以，i=6,j=3。111.定理：经过一次对换，排列的奇偶性改变。2.定理:所有n!个n元排列中，奇偶排列各占一半，均为个。2!n12三、n阶行列式的定义13三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaaD322113312312332211aaaaaaaaa332112322311312213aaaaaaaaa说明（1）三阶行列式共有项，即项．6!3（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．1.三阶行列式的特点（它表示一个数）14（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的下标排列．例如322113aaa列标排列的逆序数为,211312t322311aaa列标排列的逆序数为,101132t偶排列奇排列正号,负号123123123111213()212223123313233(1)tjjjjjjjjjaaaaaaaaaaaa152、n阶行列式的定义nnnnnnnjjjtaaaaaaaaaDaaannnn212222111211212.)1(21记作的代数和个元素的乘积取自不同行不同列的阶行列式等于所有个数组成的由定义).det(ija简记作的元素．称为行列式数)det(ijijaa16为这个排列的逆序数．的一个排列，，，，为自然数其中tnjjjn2121nnnnjjjjjjjjjtnnnnnnaaaaaaaaaaaaD21212121212222111211117说明1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;2、阶行列式是项的代数和;n!n3、阶行列式的每项都是位于不同行、不同列个元素的乘积;nn4、一阶行列式不要与绝对值记号相混淆;aa5、的符号为nnpppaaa2121.1t例1试判断和655642312314aaaaaa662551144332aaaaaa是否都是六阶行列式中的项.解655642312314aaaaaa下标的逆序数为6102210431265t所以是六阶行列式中的项.655642312314aaaaaa662551144332aaaaaa下标的逆序数为8452316t所以不是六阶行列式中的项.662551144332aaaaaa例2在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号.;)1(651456423123aaaaaa.)2(256651144332aaaaaa解651456423123)1(aaaaaa431265的逆序数为012201t,6所以前边应带正号.651456423123aaaaaa,655642312314aaaaaa行标排列341562的逆序数为列标排列234165的逆序数为400301t所以前边应带正号.256651144332aaaaaa256651144332)2(aaaaaa6400200t21证明对角形行列式,上(下)三角形行列式都等于其主对角元素的乘积,即1122nnaaa例61niiia11121222nnnnaaaaaa11212212nnnnaaaaaa1122nnaaa2211(12)2122112212(1)tnnnnnnnaaaaaaaaa只以下三角行列式为例来证明.先决定所有可能的非零项12121122njjnjnnaaaaaa12(1,2,,)njjjn其次决定非零项的符号证1122nnaaa23例7?8000650012404321D.160854124121nnaaaa其中*表示此处元素可以是任意的数.121******nnaaaa121******nnaaaa(1)2121(1)nnnnaaaa例825这个行列式的值一般并不等于12naaa当n=4,5时:41234512345,DaaaaDaaaaa当n=6,7时:616717,DaaDaa注意26例9计算对角行列式0004003002001000展开式中项的一般形式是43214321ppppaaaa解0004003002001000432114321t.24即行列式中不为零的项为.aaaa41322314274.n阶行列式的等价定义（行列下标都可任意排列）（1）（2）nnnnnnnaaaaaaaaaD212222111211nnnnnjijjjjijijjjiiiaaa2122112121)()()1(niiiiiiiiinnnnaaaD21212121)()1(视情况灵活选用定义28121212()12(1)nnntiiiiiiniiiaaa111212122212nnnnnnaaaaaaaaa根据这个结论,也可以把行列式表示为:行列式还有其它的定义方式一般行列式不用定义来计算主要利用行列式性质来计算注29思考题已知1211123111211xxxxxf.3的系数求x30思考题解答解含的项有两项,即3x1211123111211xxxxxf对应于4334221112341aaaat443322111aaaat31,1344332211xaaaat343342211123421xaaaat.13的系数为故x32小结：2.排列的逆序数、奇偶排列；1.二、三阶行列式、对角线法则；3.n阶行列式定义及其计算。注意，三阶以上行列式无对角线法则！作业布置：