线性代数第六章线性空间与线性变换.

Copyright©数学与计量经济学院2019/12/171第六章线性空间与线性变换线性变换结束基、维数与坐标线性空间Copyright©数学与计量经济学院定义1设V是一个非空集合,R为实数域.八条运算规律(设,,V;,R):的积,记作;并且这两种运算满足以下总有唯一的一个元素V与之对应,称为与=+;个元素V与之对应,称为与的和,记作如果对于任意两个元素,V,总有唯一的一又对于任一数R与任一元素V,1.定义一、线性空间的定义Copyright©数学与计量经济学院(i)+=+;(ii)(+)+=+(+);(iii)在V中存在零元素0，对任何V,(v)1=;使+=0;(iv)对任何V,都有的负元素V,都有+0=;(vi)()=();Copyright©数学与计量经济学院(vii)(+)=+;(viii)(+)=+.那么,V就称为(实数域R上的)就称为线性运算。简言之,凡满足八条规律的加法及乘数运算,统称为(实)向量.V中的元素不论其本来的性质如何,线性空间，Copyright©数学与计量经济学院例1次数不超过n的多项式的全体,记作P[x]n,即R})({][00111,a,|aaxaxaxaxpxPnnnnnn对于通常的多项式加法、数乘多项式的乘法构成只要验证P[x]n对运算封闭:项式的乘法两种运算显然满足线性运算规律,故线性空间.这是因为,通常的多项式加法、数乘多二、举例解：Copyright©数学与计量经济学院,][)()()()()(00110101nnnnnnnnxPbaxbaxbabxbxbaxaxa,][)()()()(0101nnnnnxPaxaxaaxaxa所以P[x]n是一个线性空间.Copyright©数学与计量经济学院例2n次多项式的全体}0,R,,|{][001nnnnnaaaaxaxapxQ且对于通常的多项式加法和数乘运算不构成向量空Q[x]n对运算不封闭.间.这是因为0p=0xn+···+0x+0Q[x]n,即Copyright©数学与计量经济学院例3正弦函数的集合}R,|)sin({][BABxAsxS对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性,][)sin(sin)(cos)()sincos()sincos()sin()sin(21212211221121xSBxAxbbxaaxbxaxbxaBxABxAss闭:满足线性运算规律,故只要验证S[x]对运算封空间.这是因为,通常的函数加法及乘数运算显然Copyright©数学与计量经济学院,][)sin()()sin(11111xSBxABxAs所以S[x]是一个线性空间.检验一个集合是否构成线性空间,当然不能则就应仔细检验是否满足八条线性运算规律.加法和数乘运算不是通常的实数间的加乘运算,只检验对运算的封闭性(如上面两例).若所定义的Copyright©数学与计量经济学院例4正实数的全体,记作R+,在其中定义加法及乘数运算为,)R,(baabba加法:数乘:,)R,R(aaa验证R+对上述加法与乘数运算构成线性空间.;Rabba对加法封闭:对任意的a,bR+,有证实际上要验证十条:Copyright©数学与计量经济学院对数乘封闭:对任意的R,aR+,有;Raa(i);abbaabba(ii));()()()()(cbabcacabcabcba(iii)R+中存在零元素1,对任何aR+,有;11aaa(iv)对任何aR+,有负元素a-1R+,使;111aaaaCopyright©数学与计量经济学院(v);11aaa(vi);)()()(aaaaa(vii);)(aaaaaaaa(viii).)()()(bababaababba因此,R+对于所定义的运算构成线性空间.下面讨论线性空间的性质.Copyright©数学与计量经济学院性质1零元素是唯一的.三、线性空间的性质证明设01,02是线性空间V中的两个零元素,即对任何V,有+01=,+02=.于是特别有02+01=02,01+02=01.所以01=01+02=02+01=02.即零元素是唯一的.Copyright©数学与计量经济学院性质4如果=0,则=0或=0.性质30=0;(-1)=-;0=0.性质2任一元素的负元素是唯一的.Copyright©数学与计量经济学院在第三章中,我们提过子空间,今稍作修正.定义设V是一个线性空间,L是V的一因L是V的一部分,V中的运算对于L而言,规一个非空子集要满足什么条件才构成子空间?子空间.乘两种运算也构成一个线性空间,则称L为V的个非空子集,如果L对于V中所定义的加法和数四、子空间Copyright©数学与计量经济学院律(i),(ii),(v),(vi),(vii),(viii)显然是满足的,因此因此我们有定理线性空间V的非空子集L构成子空间的充要条件是:L对于V中的线性运算封闭.满足规律(iii),(iv).但由线性空间的性质知,若L对运算封闭,则即能只要L对运算封闭且满足规律(iii)、(iv)即可.Copyright©数学与计量经济学院在第三章中,我们用线性运算来讨论n维数组这些概念和性质.性空间中的元素仍然适用.以后我们将直接引用有关的性质只涉及线性运算,因此,对于一般的线组合、线性相关与线性无关等等.这些概念以及向量之间的关系,介绍了一些重要概念,如线性第二节、基、维数和坐标Copyright©数学与计量经济学院在第三章中我们已经提出了基与维数的概念,的主要特性,特再叙述如下.这当然也适用于一般的线性空间.这是线性空间Copyright©数学与计量经济学院定义2在线性空间V中,如果存在n个元记作Vn.维数为n的线性空间称为n维线性空间,个基,n称为线性空间V的维数.那么,1,2,···,n就称为线性空间V的一线性表示.(ii)V中任一元素总可由1,2,···,n(i)1,2,···,n线性无关;素1,2,···,n满足:Copyright©数学与计量经济学院若知1,2,···,n为Vn的一个基,则Vn,}R,,|{12211nnnnxxxxxV这就较清楚地显示出线性空间Vn的构造.并且这组数是唯一的.=x11+x22+···+xnn,何Vn,都有一组有序数x1,x2,···,xn,使若1,2,···,n为Vn的一个基,则对任可表示为二、向量在基下的坐标Copyright©数学与计量经济学院反之,任给一组有序数x1,x2,···,xn,总有组有序数来表示元素.于是我们有之间存在着一种一一对应的关系,因此可以用这(x1,x2,···,xn)T这样,Vn的元素与有序数组唯一的元素=x11+x22+···+xnnVn.Copyright©数学与计量经济学院定义3设1,2,···,n为线性空间Vn=(x1,x2,···,xn)T.1,2,···,n下的坐标,并记作x1,x2,···,xn这组有序数就称为元素在基=x11+x22+···+xnn,有序数x1,x2,···,xn,使的一个基.对于任一元素Vn,总有且仅有一组Copyright©数学与计量经济学院例1在线性空间P[x]4中,p1=1,p2=x,p3=x2,p4=x3,p5=x4就是它的一个基.任一不超过4次的多项式p=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0都可表示为p=a0p1+a1p2+a2p3+a3p4+a4p5,因此p在这个基下的坐标为(a0,a1,a2,a3,a4)T.Copyright©数学与计量经济学院若另取一个基.21)(54433221110qaqaqaqaqaap因此p在这个基下的坐标为.),,21,,(T432110aaaaaa,,,2,1,145342321xqxqxqxqq则Copyright©数学与计量经济学院例2在二阶实矩阵组成的集合构成一个线性空间R2×2中,1000,0100,0010,000122211211EEEE为其一个基任意一个二阶矩阵可表示为222221211212111122211211EaEaEaEaaaaaACopyright©数学与计量经济学院建立了坐标以后,就把抽象的向量与具体于是=y11+y22+···+ynn,=x11+x22+···+xnn,设,Vn,有系起来:可把Vn中抽象的线性运算与数组的线性运算联的数组向量(x1,x2,···,xn)T联系起来了.并且还三、向量的运算Copyright©数学与计量经济学院+=(x1+y1)1+···+(xn+yn)n,=(x1)1+···+(xn)n,即+的坐标是(x1,···,xn)T=(x1,···,xn)T.的坐标是=(x1,···,xn)T+(y1,···,yn)T,(x1+y1,···,xn+yn)TCopyright©数学与计量经济学院总之,设在n维线性空间Vn中取定一个基因此,我们可以说Vn与Rn有相同的结构,我们称也就是说,这个对应关系保持线性组合的对应.2.(x1,···,xn)T,1.+(x1,···,xn)T+(y1,···,yn)T;设(x1,···,xn)T,(y1,···,yn)T,则个一一对应的关系,且这个关系具有下述性质:向量空间Rn中的向量(x1,···,xn)T之间就有一`1,2,···,n,则Vn中的向量与n维数组Vn与Rn同构.Copyright©数学与计量经济学院由例1可见,同一元素在不同的基下有不同间Vn中的两个基,且有设1,2,···,n及1,2,···,n是线性空一、定义的关系呢?的坐标,那么,不同的基与不同的坐标之间有怎样基变换和坐标变换Copyright©数学与计量经济学院)1(,,,22112222112212211111nnnnnnnnnnppppppppp把1,2,···,n利用向量和矩阵的形式,(1)式可表示为(1,2,···,n),这n个有序元素记作Copyright©数学与计量经济学院)1(.),,,(),,,(2121Pnn(1)称为基变换公式,矩阵P称为由基由于1,2,···,n线性无关,故过渡矩阵P可逆.1,2,···,n到基1,2,···,n的过渡矩阵.Copyright©数学与计量经济学院定理1设Vn中的元素,在基1,2,)2(.,211212121nnnnxxxPxxxxxxPxxx或足关系式(1)则有坐标变换公式···,n下的坐标为(x1,x2,···,xn)T.···,n下的坐标为(x1,x2,···,xn)T,在基1,2,若两个基满二、坐标变换公式Copyright©数学与计量经济学院例3在P[x]3中取两个基,2231xxx,12231xx,12233xxx;1234xx,1232xxx及.232